Calcule a massa da região R limitada por:

z 2 = x 2 + y 2 ,   x 2 + y 2 - 2 y = 0 ,   x ≥ 0 com δ x , y , z = 1 .

Passo 1

Olá meu amigo, pronto para calcular uma massa de uma região por meio de integrais? Não? Poxa mas voce vai ter que fazer pois é isso que a questão nos propõe.

A região de integração é a região do cone e do nosso tubo que coincide com a ranhura preta.

Passo 2

Vamos pensar agora na nossa parametrização,

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z

E o nosso jacobiano é

J = r

Agora que nós temos nossa parametrização, vamos descobrir os nossos limites de integração

x 2 + y 2 - 2 y ≤ 0   ↔ r 2 - 2 r sin ⁡ θ ≤ 0   ↔ r r - 2 sin ⁡ θ ≤ 0

0 ≤ r ≤ 2 sin ⁡ θ

z 2 ≤ x 2 + y 2   ↔   - r ≤ z ≤ r

x ≥ 0

r cos ⁡ θ ≥ 0   ↔ - π 2 ≤ θ ≤ π 2

Como estamos no primeiro quadrante

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora é hora de calcularmos de fato a nossa integral

m = ∫ ∫ ∫ R d m = ∫ ∫ ∫ R 1 d x d y d z = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 sin ⁡ θ ∫ - r r r d z d r d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 sin ⁡ θ 2 r r d r d θ

= ∫ 0 π 2 2 ∙ 1 3 2 sin ⁡ θ 3 d θ

= 16 3 ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ θ d θ

= 16 3 - cos ⁡ θ ∙ sin 2 ⁡ θ 3 0 π 2 + 2 3 ∙ ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ d θ

= 32 9

Resposta

= 32 9

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