Calcule a massa da região R limitada por:

d) x 2 + y 2 = 1 + z 2 , x 2 + y 2 = z 2 para z ≤ a com δ x , y , z = | z | .

Passo 1

Beleza meu amigo? Espero que sim pois agora é hora de calcular!!!! Iremos hoje resolver algumas integrais triplas para que possamos encontrar o valor da massa de uma região, sendo que temos a sua densidade. Primeiro ponto, vamos parametrizar a nossa região R para que tenhamos uma vida mais facil. Uma parametrização adequada, pois estamos trabalhando com uma circunferência, é a seguinte

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z

E o nosso querido jacobiano

z = r

Agora é hora de encontramos os intervalos de integração a partir dos parâmetros que utilizamos

x 2 + y 2 ≤ 1 + z 2   e   x 2 + y 2 ≥ z 2

z 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1 + z 2   ↔ z 2 ≤ r 2 ≤ 1 + z 2

z ≤ r ≤ 1 + z 2

z ≤ a   ↔   - a ≤ z ≤ a ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que temos tudo em mão, vamos para a integral

m = ∫ ∫ ∫ R δ x , y , z d z d y d z

= ∫ - a a ∫ 0 2 π ∫ z 1 + z 2 z r d r d θ d z

= ∫ - a a ∫ 0 2 π z ∙ ( 1 + z 2 2 - z 2 ) 2 d θ d z

= 2 π 2 ∫ - a a z 1 + z 2 - z 2 d z

= π ∫ - a 0 - z 1 d z + ∫ 0 a z 1 d z

= π ( - ( 0 2 - - a 2 2 + a 2 2 )

= a 2 π

Resposta

= a 2 π

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