Calcule a massa da região R limitada por:

e) x 2 4 + y 2 9 = 1 + z 2 , x 2 4 + y 2 9 = 2 z 2 com δ x , y , z = 1 ;

Passo 1

Olá meu caro amigo, hoje iremos calcular a massa de uma região no mínimo interessante. Vamos dar uma olhada nela para eu lhe explicar.

Então nossa região é essa acima, veja que temos os pontos para z > 0   e   z < 0 . E veja também que a nossa região vai até quando a parte verde ‘fura’ a parte vermelha. Agora iremos parametrizar a nossa região

x = 2 r cos ⁡ θ

y = 3 r sin ⁡ θ

z = z

E o nosso jacobiano

J = 6 r

Passo 2

Agora iremos encontrar os limites de integração a partir da parametrização que fizemos,

2 z 2 ≤ x 2 4 + y 2 9 ≤ 1 + z 2   ↔ 2 z 2 ≤ r 2 ≤ 1 + z 2

2 z ≤ r ≤ 1 + z 2

Os limites de z

1 + z 2 = 2 z 2

z = ± 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora iremos montar a nossa integral e calcular a massa

M = ∫ 0 2 π ∫ - 1 1 ∫ 2 z 1 + z 2 6 r d r d z d θ

= ∫ 0 2 π ∫ - 1 1 6 2 ( 1 + z 2 2 - 2 z 2 ) d z d θ

= 3 ∫ 0 2 π ∫ - 1 1 1 - z 2 d z d θ

= 3 ∙ 2 π [ 1 - - 1 - 1 3 1 3 - - 1 3

= 6 π 2 - 2 3

= 8 π

Resposta

= 8 π

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