Calcule a massa da região R limitada por:

x 2 + y 2 = 1 + z 2 , x 2 + y 2 = 2 + 2 z 2 , para z ≤ a com δ x , y , z = z 2 .

Passo 1

Olá meu caro colega, Yuri aqui e hoje iremos resolver essa querida integral tripla para encontramos a massa de um solido dado. A região que iremos trabalhar é a seguinte

Para que não tenhamos um trauma no calculo dessa integral o melhor a se fazer é parametrizar as equações. Uma parametrização interessante é a

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z

E o querido jacobiano é

J = r

Agora é hora de encontramos os intervalos da integral a partir da parametrização

1 + z 2 ≤ r 2 ≤ 2 1 + z 2 ↔ 1 + z 2 ≤ r ≤ 2 1 + z 2

- ≤ z ≤ a

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora é hora de calcularmos a massa por meio da integral tripla

M = ∫ - a a ∫ 0 2 π ∫ 1 + z 2 2 1 + z 2 z 2 r d r d θ d z

= ∫ - a a ∫ 0 2 π z 2 1 2 ( 2 ( 1 + z 2 ) - ( 1 + z 2 ) ) d θ d z

= ∫ - a a π z 2 ( 1 + z 2 ) d z

= π [ 1 3 a 3 - - a 3 + 1 5 ( a 5 - - a 5 ]

= π 2 3 a 3 + 2 5 a 5

= 2 π a 5 5 + a 3 3

Resposta

= 2 π a 5 5 + a 3 3

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