Calcule as seguintes integrais duplas:

∬ x y d x d y D

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,   x 2 ≤ y ≤ x .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∬ x y d x d y D

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,   x 2 ≤ y ≤ x .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 0 1 ∫ x 2 x x y d y   d x

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a y ,vamos pegar essa integral:

∫ x 2 x x y d y

Colocando a constante x para fora e integrando em função de y , temos:

= x ∫ x 2 x y d y ∴

= x 2 y 2 x x 2 ∴

= x x - x 4 2

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 1 ∫ x 2 x x y d y   d x = ∫ 0 1 x x - x 4 2 d x ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= 1 2 ∫ 0 1 x 2 d x - ∫ 0 1 x 5 d x ∴

= 1 2 x 3 3 - x 6 6 1 0 ∴

= 1 12

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

1 12

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