Calcule as seguintes integrais duplas:

b)

∬ x 2 - 2 x y d x d y D

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,   x ≤ y ≤ 2 - x .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∬ x 2 - 2 x y d x d y D

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,   x ≤ y ≤ 2 - x .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 0 1 ∫ x 2 - x x 2 - 2 x y d y   d x

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a y ,vamos pegar essa integral:

∫ x 2 - x x 2 - 2 x y d y

Aplicando a propriedade da soma/diferença de integrais, temos:

= ∫ x 2 - x x 2 d y - ∫ x 2 - x 2 x y d y ∴

Colocando a constante de ambas as integrais para fora e resolvendo pela regra da potência, temos:

= ∫ x 2 - x x 2 d y - 2 x ∫ x 2 - x y d y ∴

= x 2 y - x y 2 2 - x x ∴

= - 2 x 3 + 7 x 2 - x 2 x - 4 x

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 1 ∫ x 2 - x x 2 - 2 x y d y   d x = ∫ 0 1 - 2 x 3 + 7 x 2 - x 2 x - 4 x   d x ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= - ∫ 0 1 2 x 3   d x + ∫ 0 1 7 x 2   d x - ∫ 0 1 x 3 2   d x - ∫ 0 1 4 x   d x ∴

= - 2 x 4 2 + 7 x 3 3 - 2 x 5 2 5 - 2 x 2 1 0 ∴

= - 19 42

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

- 19 42

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