Calcule as seguintes integrais duplas:

c)

∬ e x y d x d y D

Onde D = x , y : 1 ≤ y ≤ 2 ,   y ≤ x ≤ y 3 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∬ e x y d x d y D

Onde D = x , y : 1 ≤ y ≤ 2 ,   y ≤ x ≤ y 3 .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 1 2 ∫ y y 3 e x y d x   d y

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a x ,vamos pegar essa integral:

∫ y y 3 e x y d x

Aplicando a substituição u = x y ∴ d u = 1 y d x , temos

∫ y y 3 e u y   d u ∴

= e u y ∴

= y e y 2 - e

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 1 2 ∫ y y 3 e x y d x   d y = ∫ 1 2 y e y 2 - e   d y ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ 1 2 y e y 2   d y - ∫ 1 2 y e   d y ∴

Fazendo u = y 2 ∴ d u = 2 y d y para a primeira integral, enquanto que na segunda integral a gente resolve pela regra da potência normalmente, temos:

= ∫ 1 4 e u 2   d u - e y 2 2 2 1 ∴

= 1 2 e u 4 1 - e y 2 2 2 1 ∴

= e 4 - e 2 - 3 e 2 ∴

= e 4 - 4 e 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

e 4 - 4 e 2

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