Calcule as seguintes integrais duplas:

g)

∬ x 2 tan ⁡ x + y 3 + 4 d x d y D

Onde D = x , y : x 2 + y 2 ≤ 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∬ x 2 tan ⁡ x + y 3 + 4 d x d y D

Onde D = x , y : x 2 + y 2 ≤ 2 .

Perceba que a região de integração é a região interna ao círculo de raio 2 , veja:

Nós podemos utilizar a simetria do sistema para resolver a nossa integral!!

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... observe que, como a tangente é uma função ímpar, x 2 tan ⁡ x é uma função ímpar de variável x .

Assim, a parte da integral que envolve essa função será nula, pois o intervalo de integração é simétrico em x . Portanto:

∬ x 2 tan ⁡ x d x d y D = 0

De forma análoga, temos também que:

∬ y 3 d x d y D = 0

Com base nisso, a gente pode concluir que:

∬ x 2 tan ⁡ x + y 3 + 4 d x d y D = ∬ 4 d x d y D

Agora vamos resolver a integral que nos restou!!

Passo 3

Agora, resolvendo a integral dupla que restou, temos:

∬ 4 d x d y D ∴

= 4 ∬ d x d y D ∴

A integral dupla é nada mais do que a área do círculo, logo:

= 4 π r 2 2 0 ∴

= 8 π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

8 π

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