Calcule as seguintes integrais iteradas

a ) ∫ 1 3 ∫ 0 2 x 2 y d x d y

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa integral iterada aqui

∫ 1 3 ∫ 0 2 x 2 y d x d y

A ordem de integração dada é

d x   d y

Então primeiro precisamos integrar a integral “mais de dentro”, ou seja, nesse caso d x ! Quando integramos em x , consideramos y constante, e vice versa!

Então aqui atenção: vamos começar integrando em x , então aquele y fica quietinho! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar integrando em x

∫ 1 3 ∫ 0 2 x 2 y d x d y = ∫ 1 3 ∫ 0 2 x 2 d x y   d y = ∫ 1 3 x 3 3 0 2 y   d y

Agora vamos aplicar nos limites de integração:

= ∫ 1 3 8 3 y   d y

Tudo bem até aqui? Para ter certeza de que está tudo bem, no momento em que você aplicou os limites em x não pode sobrar nenhuma variável x no integrando, viu? A partir de agora, nossa integral passa a ser só em y !

Passo 3

Integrando em y temos

∫ 1 3 8 3 y   d y = 8 3 y 2 2 1 3 = 8 6 9 - 1 = 64 6

= 32 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

32 3

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