Calcule as seguintes integrais iteradas

f ) ∫ 0 4 ∫ 0 5 d y d x x + y  

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa integral iterada aqui

∫ 0 4 ∫ 0 5 d y d x x + y  

A ordem de integração dada é

d y   d x

Então primeiro precisamos integrar a integral “mais de dentro”, ou seja, nesse caso d y ! Quando integramos em y , consideramos x constante, e vice-versa!

Então aqui atenção: vamos começar integrando em y , então aquele x fica quietinho! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar integrando em y

∫ 0 4 ∫ 0 5 d y d x x + y   = ∫ 0 4 ∫ 0 5 1 x + y d y   d x = ∫ 0 4 2 x + y y = 0 5   d x

Agora vamos aplicar nos limites de integração:

= 2 ∫ 0 4 x + 5 - x d x

Tudo bem até aqui? Para ter certeza de que está tudo bem, no momento em que você aplicou os limites em y não pode sobrar nenhuma variável y no integrando, viu? A partir de agora, nossa integral passa a ser só em x !

Passo 3

Integrando em x temos

2 ∫ 0 4 x + 5 - x d x = 4 3 x + 5 3 2 - x 3 2 0 4

= 4 3 3 3 - 2 3 - 5 3 2 = 4 3 27 - 8 - 125

= 4 3 19 - 125

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

4 3 19 - 125

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