Considere uma lâmina que ocupa a região planar D que se encontra entre as curvas x = 0 , y = e 2 x e y = - e 2 x + 8 . Suponha que a densidade em um ponto qualquer na lâmina seja dada pela função ρ x , y = x y . Determine a massa total da lâmina.

Passo 1

Galera, bora lá! Pra início de conversa, tamos falando de várias curvas no plano x y e acho que fica confuso trabalhar com elas todas sem um esboço. Veja que pras curvas exponenciais, quando x = 0 , teremos os seguintes valores de y :

y = e 0 = 1

y = - e 0 + 8 = - 1 + 8 = 7

E que essas curvas vão se interceptar no seguinte valor de x :

e 2 x = - e 2 x + 8

2 e 2 x = 8

e 2 x = 4

2 x = ln ⁡ 4

Como 4 = 2 2 , podemos simplificar ainda para:

2 x = ln ⁡ 2 2

2 x = 2 ln ⁡ 2

x = ln ⁡ 2

Um bom esboço então será:

Sendo que a lâmina, como o próprio enunciado disse, é a região entre essas curvas. Pra calcular a massa total, é bem aplicação de fórmula mesmo galera! Afinal temos uma equação lindíssima ela a partir da densidade:

m = ∬ D   ρ x , y   d A

A gente pode abrir essa integral já e por os limites de integração direitinho. Afinal, sabemos que:

d A = d y   d x

E do nosso esboço, vemos que a região de integração D , que define a lâmina, vale:

0 < x < ln ⁡ 2

e 2 x < y < - e 2 x + 8

Show de bola!! Sendo, do enunciado mesmo, ρ x , y = x y , nossa massa fica:

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y   d x

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y d x

Nos próximos passos, o que faremos é resolver essas integrais!

Passo 2

Show, vamos começar com a integral de dentro:

∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y

Essa integral esnobe quer nem saber quem é x , afinal ela tá em função de y . Vamos tratar x que nem uma constante então, e a integração vira a de um polinômio de y do primeiro grau, resultando em:

∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y = x ∙ y 2 2 y = e 2 x y = - e 2 x + 8

∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y = x ∙ - e 2 x + 8 2 2 - e 2 x 2 2

∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y = x ∙ e 4 x - 16 e 2 x + 64 2 - e 4 x 2

∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y = x ∙ - 16 e 2 x + 64 2

Simplificando, temos:

∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y = x ∙ 32 - 8 e 2 x

Passo 3

Agora a gente coloca esse resultado dentro da integral dupla que tínhamos antes:

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ e 2 x - e 2 x + 8 x y   d y d x

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 x ∙ 32 - 8 e 2 x d x

E integramos em relação a x ! Pra isso eu já dou um adianto aqui: a maior parte das vezes que temos um produto de funções diferentes na integral, ela sai por integração por partes. Uma boa forma de eliminarmos esse x multiplicando é considerarmos:

∫ u   d v =   ∫ x ∙ 32 - 8 e 2 x   d x

Onde:

u = x

d v = 32 - 8 e 2 x   d x

Sendo a integração por partes um método onde vale:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Derivamos u e integramos d v , achando:

d u = d x

v = 32 x - 4 e 2 x

E logo, temos:

∫ x ∙ 32 - 8 e 2 x   d x = x ∙ 32 x - 4 e 2 x - ∫ 32 x - 4 e 2 x   d x

∫ x ∙ 32 - 8 e 2 x   d x = 32 x 2 - 4 x e 2 x - ∫ 32 x   d x + ∫ 4 e 2 x   d x

∫ x ∙ 32 - 8 e 2 x   d x = 32 x 2 - 4 x e 2 x - 32 ∙ x 2 2 + 4 ∙ e 2 x 2

O que simplificando, resulta em:

∫ x ∙ 32 - 8 e 2 x   d x = 32 x 2 - 4 x e 2 x - 16 x 2 + 2 e 2 x

∫ x ∙ 32 - 8 e 2 x   d x = 16 x 2 - 4 x e 2 x + 2 e 2 x

A única coisa que falta é aplicar os limites de integração! Mãos a obra!

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 x ∙ 32 - 8 e 2 x d x = 16 x 2 - 4 x e 2 x + 2 e 2 x x = 0 x = ln ⁡ 2

m = 16 ∙ ln 2 ⁡ 2 - 4 ∙ ln ⁡ 2 ∙ e 2 ln ⁡ 2 + 2 ∙ e 2 ln ⁡ 2 - 16 ∙ 0 2 - 4 ∙ 0 ∙ e 0 + 2 ∙ e 0

m = 16 ∙ ln 2 ⁡ 2 - 4 ∙ ln ⁡ 2 ∙ e ln ⁡ 2 2 + 2 ∙ e ln ⁡ 2 2 - 2

Levando em consideração que a = e ln ⁡ a é uma propriedade das exponenciais, chegamos a:

m = 16 ln 2 ⁡ 2 - 4 ∙ ln ⁡ 2 ∙ 2 2 + 2 ∙ 2 2 - 2

m = 16 ln 2 ⁡ 2 - 16 ln ⁡ 2 + 8 - 2

m = 16 ln 2 ⁡ 2 - 16 ln ⁡ 2 + 6

E ta na mão! Achamos a massa total!

Resposta

m = 16 ln 2 ⁡ 2 - 16 ln ⁡ 2 + 6

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