Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UFPE, Calculo 2, 3º EE - 2012.2, Questão 1

Determine o valor da integral dupla

R x 3 + y 5 e x 2 + y 2 d A

Para o qual R R 2 é o interior de um quadrado cujos vértices estão sobre os eixos coordenados

Passo 1

Essa questão parece que está faltando alguma informação, não é? Ele não fala muito sobre o quadrado, ta bem estranha. Enfim, na prova não vamos deixar em branco, né? Vamos dar um tamanho l qualquer para o lado do quadrado e resolver isso.

O enunciado diz que os vértices do quadrado estão nos eixos coordenados, então um esboço é esse aqui

A gente poderia até tentar resolver essa integral bizarra aí que o enunciado deu, ia dar um trabalho surreal e podíamos errar contas muito fácil. Não vamos fazer isso dessa vez, tem um macete aqui que vai salvar nossa vida!

Existe um conceito no cálculo que é o de função ímpar, uma função ímpar matematicamente é definida por

f - x , - y = - f x , y

Mas como assim?

Calma, isso é meio teórico demais mesmo, vou dar um exemplo simples:

f x = x 3

f - x = - x 3 = - x 3

Quando fizemos a função de - x o resultado deu exatamente inverso de f x , logo essa função é ímpar!

O mesmo não acontece com a função f x = x 2

f - x = - x 2 = x 2

No caso essa função não é ímpar, sacou a diferença?

Ta, mas pra que estou lendo isso, responde aí? Como me ajuda na questão?

Existe uma definição que diz que, se integrarmos uma função ímpar em uma região simétrica em relação à origem, o resultado da integral é zero!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, o conceito de função ímpar entendemos, mas que bruxaria é essa de “região simétrica em relação à origem???

Me acompanha aqui, imagina só metade do quadrado, mais especificamente a metade de cima

Se usarmos a origem como espelho pra cada ponto dessa curva vermelha aí, olha o que encontramos

Ou seja, o quadrado que é a nossa região de integração é totalmente simétrico em relação à origem!

Passo 3

Só precisamos provar agora que a nossa função que vamos integrar é ímpar que o resultado da integral vai ser zero!

Vamos analisar nossa função então

f x , y = x 3 + y 5 e x 2 + y 2

f - x , - y = - x 3 + - y 5 e - x 2 + - y 2

f - x , - y = - x 3 - y 5 e x 2 + y 2

f - x , - y = - x 3 + y 5 e x 2 + y 2 f x , y

f - x , - y = - f x , y

Portanto a função é impar!

Passo 4

Provando que a função é ímpar (Passo 3) e que o intervalo de integração é simétrico em relação à origem (Passo 2), podemos afirmar que

R x 3 + y 5 e x 2 + y 2 d A = 0

Resposta

0

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