Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3 x + 2 y + z = 6 .

Passo 1

Fala turminha, tudo em cima? Bora lá resolver essa questão. Sem mistério, precisamos desenhar o plano que ele descreve na questão. Apresentando uma forminha 3D pra gente visualizar melhor:

O nosso sólido é do formato de uma pirâmide de base triangular.

E para encontrar o volume dessa pirâmide, usaremos uma integral dupla do tipo:

∬ D f ( x , y ) d x d y

Agora precisamos saber quem é f ( x , y ) e quem é a região de integração D .

Passo 2

Para encontrar f ( x , y ) basta isolarmos a variável z na equação no plano dada pelo problema. Assim:

3 x + 2 y + z = 6

Então

z = 6 - 3 x - 2 y

E encontramos

f x , y = 6 - 3 x - 2 y

Essa será a função que iremos integrar. Agora nos resta determinar a região de integração.

Passo 3

Observar o seguinte: Olhando pelo eixo x y do sólido,

A região D formada por valores de 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ f ( x )

Assim, nossa integral será uma integral dupla em que os valores de x estão variando entre constantes indo de 0 até 2 e os valores de y então variando desde y = 0 até a função y = f ( x ) .

Mas ainda não sabemos qual é essa função f ( x ) , por isso devemos determina-la antes de partir para a integração.

Perceba que a função tem como gráfico uma reta, então sua lei de formação é dada por

y = a x + b

E existem dois pontos no gráfico que conseguimos utilizar para encontras os valores de a e b . Os pontos são ( 0,3 ) e (2,0).

Substituindo esses pontos na lei de formação ficamos com o seguinte sistema:

0 = 2 a + b

3 = b

Sendo b = 3 , podemos substituir na primeira equação e encontrar

a = - 3 2

E nossa função então será dada por

y = - 3 x 2 + 2

E assim podemos voltar a discussão sobre os limites de integração.

Assim, nossa integral será uma integral dupla em que os valores de x estão variando entre constantes indo de 0 até 2 e os valores de y então variando desde y = 0 até a função y = - 3 x 2 + 2 .

Ou seja

∫ 0 2 ∫ 0 - 3 x 2 + 2 6 - 3 x - 2 y d y d x

E nossa missão agora será desenvolver essa integração aí.

Passo 4

Usando o Teorema de Fubini iremos integrar primeiro a integral de dentro que está em y , assim, a variável x será vista como uma constante.

∫ 0 2 ∫ 0 - 3 x 2 + 2 6 - 3 x - 2 y d y d x

∫ 0 2 6 y - 3 x y - y 2 | 0 - 3 x 2 + 2 d x

∫ 0 2 6 - 3 x 2 + 2 - 3 x - 3 x 2 + 2 - - 3 x 2 + 2 2 d x

∫ 0 2 - 18 x 2 + 12 + 9 x 2 2 - 6 + 3 x 2 - 2 2 d x

∫ 0 2 - 9 x + 12 + 9 x 2 2 - 6 + 9 4 x 2 - 6 x + 4 d x

∫ 0 2 27 x 2 4 - 15 x + 10 d x = 27 12 x 3 - 15 x 2 2 + 10 x 0 2

= 27 12 x 3 - 15 x 2 2 + 10 x 0 2 = 27 12 2 3 - 15 2 2 2 + 10 ( 2 )

= 18 - 30 + 20 = 8

E finalmente, é isso! Se você gostou, ou ainda ficou alguma dúvida na questão, dá um feedback pra gente! Vamos adorar te responder

Resposta

V o l u m e = 8

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .