Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3 x + 2 y + z = 6 .

Passo 1

Fala turminha, tudo em cima? Bora lá resolver essa questão. Sem mistério, precisamos desenhar o plano que ele descreve na questão. Apresentando uma forminha 3D pra gente visualizar melhor:

O nosso sólido é do formato de uma pirâmide de base triangular. Mas, vamos observar o seguinte: Olhando pelo eixo x y do sólido,

É uma região D formata por x = 0 , y = 0 e 0 = 6 - 3 x - 2 y (para z = 0 )

Passo 2

Beleza, é justo você estar se perguntando porque essa informação é útil... ? pois bem. Com isso, podemos montar nossa integral tripla para volume usando as retas que limitam a região D. Ou seja, montando a integral, temos (de x, para y, para z):

X limitado por 0 e 2 .

Y limitado por 0 e 3 - 3 x 2

Z limitado por 6 - 3 x - 2 y e 0. Dessa forma:

∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 x 2 ∫ 0 6 - 3 x - 2 y 1   d z   d y   d x

Agora o desafio é resolver a integral!

Passo 3

Bem, resolvendo-a:

∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 x 2 ∫ 0 6 - 3 x - 2 y 1   d z   d y   d x

Primeiro para z . Aqui fica tranquilo pois o integrador é 1, então a integral já fica na forma:

∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 x 2 6 - 3 x - 2 y   d y   d x

Resolvendo para y , aplicaremos a integral:

∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 x 2 6 - 3 x - 2 y   d y   d x = ∫ 0 2 18 - 9 x - 9 x + 9 x 2 2 - 9 - 9 x - 9 x 2 4 d x

E por fim resolvendo a última integral:

∫ 0 2 18 - 9 x - 9 x + 9 x 2 2 - 9 - 9 x - 9 x 2 4 d x = ∫ 0 2 9 - 9 x + 9 x 2 4 d x

= 9 x - 9 x 2 2 + 3 x 3 4 0 2

= 9 ⋅ 2 - 9 2 2 2 + 3 2 3 4  

= 6

E é isso! Se você gostou, ou ainda ficou alguma dúvida na questão, dá um feedback pra gente! Vamos adorar te responder

Resposta

= 6

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .