2 - Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas a seguir

b) ∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Temos uma função dada por 1 e - e y e temos que calcular a integral dupla pra y variando de ln ⁡ x e 0 e depois pra x de e a 1 .

Só de ver essa função já dá um sustinho, não é?

O que vamos fazer é integrar a função em relação a y , depois de integrado vamos aplicar os limites de integração.

A partir do resultado vamos fazer o mesmo com relação a x .

Preparado? Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos integrar a função com relação a y

∫ 1 e - e y d y

Antes, vamos manipular essa função para facilitar nossos cálculos.

Podemos escrever

1 e - e y → 1 e 1 1 - e y e → 1 e 1 1 - e y - 1

Assim podemos usar o método de substituição para substituir y - 1 por u

∫ 1 e 1 1 - e u d u → 1 e ∫ 1 1 - e u d u

Ainda não acabou, podemos também fazer o seguinte

1 1 - e u → e u 1 - e u + 1

Agora sim, aplicando o método da soma, temos

1 e ∫ e u 1 - e u + 1 d u = 1 e ∫ e u 1 - e u d u + 1 e ∫ 1 d u

Agora temos condições de calcular as integrais

Passo 3

Para a primeira integral, pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que

∫ e u 1 - e u d u = - ln ⁡ 1 - e u

Para a segunda integral podemos obtê-la facilmente como

∫ 1 d u = u

Com isso, temos

1 e ∫ e u 1 - e u + 1 d u = 1 e - ln ⁡ 1 - e u + u

Voltando u para y - 1

∫ 1 e - e y d y = 1 e - ln ⁡ 1 - e y - 1 + y - 1

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y   d y = 1 e - ln ⁡ 1 - e ln ⁡ x e + ln ⁡ x - 1 - 1 e - ln ⁡ 1 - e 0 - 1 + 0 - 1

∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y   d y = 1 e - ln ⁡ 1 - x e + ln ⁡ 1 - 1 e + ln ⁡ x

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos integrar com relação a x

∫ 1 e - ln ⁡ 1 - x e + ln ⁡ 1 - 1 e + ln ⁡ x d x

Como a integral da soma é a soma das integrais, logo

1 e - ∫ ln ⁡ 1 - x e d x + ∫ ln ⁡ 1 - 1 e d x + ∫ ln ⁡ x d x

Calculando a primeira integral

∫ ln ⁡ 1 - x e d x

Por integral de substituição u = 1 - x e e d u = - 1 e d x → d x = - e d u , logo

∫ - e ln ⁡ u d u → - e ∫ ln ⁡ u d u

Como sabemos, a integral do l n é igual a

- e ∫ ln ⁡ u d u = - e u ln ⁡ u - u

Substituindo u por 1 - x e de volta

∫ ln ⁡ 1 - x e d x = - e 1 - x e ln ⁡ 1 - x e - 1 - x e

Aplicando os limites de integração.

∫ 1 e ln ⁡ 1 - x e d x = - e 0 ln ⁡ 0 - 0 - - e 1 - 1 e ln ⁡ 1 - 1 e - 1 - 1 e

Organizando a resposta, temos

∫ 1 e ln ⁡ 1 - x e d x = e - 1 ln ⁡ 1 - 1 e - e - 1

Trabalhoso, não é? Mas relaxa, estamos acabando

Passo 5

A segunda integral dada por

∫ ln ⁡ 1 - 1 e d x

Como não temos x para integrar, consideramos tudo como uma constante. E qual a integral de uma constante?

∫ ln ⁡ 1 - 1 e d x = x ln ⁡ 1 - 1 e

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 1 e ln ⁡ 1 - 1 e d x = e - 1 ln ⁡ 1 - 1 e

Por último, a terceira integral

∫ ln ⁡ x d x

Como calculamos anteriormente, a integral de l n é dado por

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - x

Aplicando os limites de integração

∫ 1 e ln ⁡ x d x = e ln ⁡ e - e - ln ⁡ 1 - 1

∫ 1 e ln ⁡ x d x = e - e - - 1 = 1

Passo 6

Substituindo esses resultados, temos

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x = 1 e - ∫ ln ⁡ 1 - x e d x + ∫ ln ⁡ 1 - 1 e d x + ∫ ln ⁡ x d x

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x = 1 e - e - 1 ln ⁡ 1 - 1 e + e - 1 + e - 1 ln ⁡ 1 - 1 e + 1

Organizando os resultados, vamos obter

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x = 1 e e - 1 + 1

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x = 1 e e = 1

Acabamos?? Ainda não, falta uma coisinha pequena. Vamos esboçar a área de integração

Pelos limites de integração, x varia entre e e 1 , já y varia entre ln ⁡ x e 0 . A área formada pela intersecção desses intervalos, é

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x = 1

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