2 - Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas a seguir

c) ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x d x d y

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Essa questão foi bem direta com a gente. Temos que visualizar e desenhar a região em que estamos integrando e obter o resultado dessa integral.

Sabe como fazemos pra visualizar o intervalo de integração. Observando a integral, temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x d x d y

As integrais são dispostas entre as cores que destacamos, ou também os meios e os extremos.

Isso significa que como a integral de d x é dada pelo limite inferior 0 e o limite superior 1 - y 2 , nosso x está variando entre as curvas x = 0 e x = 1 - y 2 .

Seguindo essa mesma ideia podemos afirmar que y está variando entre as curvas y = 0 e y = 1 .

Uma técnica pra visualizarmos a área de integração, é hachurar a área entre as curvas de x e de y separadamente, a área em que a hachura está em comum (para x e y ) é nossa área de integração.

Entendeu?

Passo 2

Se plotarmos as curvas e obter a área hachurada em comum, vamos ter

Essa é a nossa região de integração!

Agora vamos calcular essa integral. Primeiro vamos integrar com relação a x e depois aplicamos os limites de integração.

∫ x d x

Por integral de polinômios, fazemos a divisão entre a variável e a potência + 1 e somamos 1 no seu expoente

∫ x d x = x 1 + 1 1 + 1 = x 2 2

Aplicando os limites de integração como

∫ 0 1 - y 2 x d x = 1 - y 2 2 2 - 0 2 2

∫ 0 1 - y 2 x d x = 1 - y 2 2

Bacana, não é?

Passo 3

Agora a partir desse resultado, vamos obter a integral com relação a y

∫ 1 - y 2 2 d y

Podemos tirar a constante 1 / 2 para fora da integral e aplicar o método da soma

∫ 1 - y 2 2 d y = 1 2 ∫ 1 d y - ∫ y 2 d y

Sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável e a integral de y 2 é obtida pela integração de polinômios.

∫ 1 d y = y

∫ y 2 d y = y 2 + 1 2 + 1 = y 3 3

Substituindo na integral anterior e aplicando os limites de integração, temos

∫ 1 - y 2 2 d y = y 2 - y 3 6

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x d x d y = ∫ 0 1 1 - y 2 2 d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x d x d y = 1 2 - 1 3 6 - 0 2 - 0 3 6

Organizando nosso resultado, vamos ter

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x d x d y = 1 3

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x d x d y = 1 3

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