Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.

b) ∫ 0 1 / 2 ∫ y 2 1 / 4 y cos ⁡ ( 16 π x 2 ) d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente trocar a ordem de integração, esboçar a região e calcular a integral. Essa região de integração é definida pelos intervalos da integral dupla que ele nos deu. Nesse caso, temos a região:

R = x ,   y ∈ R 2 |   0 ≤ y ≤ 1 2 , y 2 ≤ x ≤ 1 4

Esboçando a região, temos:

Em vermelho, temos a curva x = y 2 , que também pode ser escrita como y = x . A reta em verde representa y = 0 e, em laranja e azul, temos as retas x = 1 4 e y = 1 2 , respectivamente.

Se a gente inverter essa ordem de integração, vamos olhar primeiro para x , e ver que ele vai ta variando de 0 até a reta 1 4 . Depois olhando para y , vemos que ele vai de 0 até a curva y = x , ou seja:

0 ≤ y ≤ x

0 ≤ x ≤ 1 4

Dessa forma, vamos resolver a integral:

∫ 0 1 / 4 ∫ 0 x y cos ⁡ ( 16 π x 2 ) d y d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y :

∫ 0 1 / 4 ∫ 0 x y cos ⁡ ( 16 π x 2 ) d y d x = ∫ 0 1 / 4 y 2 2 cos ⁡ 16 π x 2 0 x d x

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 1 / 4 x 2 cos ⁡ 16 π x 2 d x

Agora vamos integrar em relação a x . Mas antes vamos precisar fazer uma substituição pra facilitar nossa vida. Vamos chamar u = x 2 , dessa forma:

d u = 2 x   d x → d x = d u 2 x

Além disso, quando x = 0 , temos u = 0 e quando x = 1 4 , temos u = 1 16 . Assim:

∫ 0 1 / 16 x 2 cos ⁡ 16 π u d u 2 x  

= 1 4 ∫ 0 1 / 16 cos ⁡ 16 π u  

Ainda não ajudou muito né? Então, vamos fazer outra substituição, chamando 16 π u = v . Assim, temos:

d v = 16 π d u → d u = 1 16 π d v

Além disso, quando u = 0 , temos v = 0 e quando u = 1 16 , temos v = π . Substituindo na integral vai ficar:

1 4 ∫ 0 π 1 16 π cos ⁡ ( v ) d v

= 1 64 π ∫ 0 π cos ⁡ ( v ) d v

Integrando agora em relação a v :

1 64 π sin ⁡ v 0 π

Aplicando os limites de integração:

1 64 π sin ⁡ π - sin ⁡ 0

= 1 64 π 0 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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