Escreva duas integrais iteradas correspondentes à integral dupla ∬ D f ( x ,   y ) d x d y , onde D é a região do plano limitada pelas curvas y = - x 2 + x + 2 e x - 2 y + 1 = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente escrever duas integrais iteradas na forma ∬ D f ( x ,   y ) d x d y , sabendo que D é a região do plano limitada pelas curvas y = - x 2 + x + 2 e x - 2 y + 1 = 0 .

Plotando essas curvas, nós temos:

Então, nossa região D é essa em amarelo. Nós vamos escrever uma integral iterada d x d y e uma integral iterada d y d x . Pra isso, a gente precisa definir os intervalos de integração, com base na região dada, e escrever nossa integral dupla.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que o x é limitado pelos pontos de interseção entre as curvas. Nós encontramos eles, igualando as equações y = - x 2 + x + 2 e x - 2 y + 1 = 0 .

- x 2 + x + 2 = x + 1 2

- x 2 + x 2 + 3 2 = 0

Encontrando as raízes dessa equação do segundo grau, temos x = - 1 e x = 3 2 . Então,

- 1 ≤ x ≤ 3 2

E o y vai variar entre as curvas, então, temos:

x + 1 2 ≤ y ≤ - x 2 + x + 2

E podemos escrever nossas duas integrais iteradas na forma:

∫ - 1 3 2 ∫ x + 1 2 - x 2 + x + 2 f x ,   y d y d x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ - 1 3 2 ∫ x + 1 2 - x 2 + x + 2 f ( x ,   y ) d y d x

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Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
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