Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

1) f x , y = x + 2 y , D a região determinada pelas curvas y = 2 x e y = x 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter a integral da função f x , y = x + 2 y aplicada na região D , onde D é a região definida entre y = 2 x e y = x 2 .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

O segredo é conseguir definir a região D como os limites de integração de f x , y

∬ D f x , y d x d y

Se conseguirmos fazer isso, a primeira integral deve ser definida entre duas funções e a última integral deve ser definida entre duas constantes.

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar esboçando a região D .

Esboçando a reta y = 2 x e a parábola y = x 2 .

Percebemos que a região em azul (a região D ) é limitada superiormente entre a reta y = 2 x e inferiormente pela parábola y = x 2 .

Dessa forma, podemos definir que y varia entre o intervalo

x 2 ≤ y ≤ 2 x

E a região D é definida em x nos pontos onde a reta e a parábola se cruzam, ou seja, x = 0 e x = 2 .

0 ≤ x ≤ 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Montando nossa integral com base no que nos dados que obtivemos...

∬ D f x , y d x d y → ∫ 0 2 ∫ x 2 2 x x + 2 y d y d x

Integrando com relação a y , temos

∫ x + 2 y d y = x y + y 2

Aplicando os limites de integração

∫ x 2 2 x x + 2 y d y = x 2 x + 2 x 2 - x x 2 + x 2 2

∫ x 2 2 x x + 2 y d y = - x 4 - x 3 + 6 x 2

Integrando o resultado com relação a x

∫ - x 4 - x 3 + 6 x 2 d x = - x 5 5 - x 4 4 + 2 x 3

Aplicando os limites de integração em x

∫ 0 2 - x 4 - x 3 + 6 x 2 d x = - 2 5 5 - 2 4 4 + 2 2 3 - - 0 5 5 - 0 4 4 + 2 0 3

∬ D f x , y d x d y = 28 5

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∬ D f x , y d x d y = 28 5

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