Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

2 - f x , y = x , D a região do primeiro quadrante dada por x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 4 ,     0 ≤ x ≤ y

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, queremos obter a integral da função f x , y = x aplicada na região D , onde D é a região definida entre x 2 + y 2 ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ y no primeiro quadrante do plano x y .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

O segredo é conseguir definir a região D como os limites de integração de f x , y

∬ D f x , y d x d y

Se conseguirmos fazer isso, a primeira integral deve ser definida entre duas funções e a última integral deve ser definida entre duas constantes.

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar esboçando a região D .

A inequação x 2 + y 2 ≤ 4 nos dá um círculo de raio 2 como podemos perceber da estrutura da equação e 0 ≤ x �� y nos diz que x varia de 0 até y .

Plotando essas informações no plano x y , temos

Como nossa região tem características circulares, podemos usar coordenadas polares para nos ajudar na integral.

Para converter as coordenadas x , y e z para as coordenadas polares temos que substituir x por r c o s θ , y por r s e n θ e integrar com relação a r e a θ .

Já vimos que r varia de 0 a 2 e θ é o ângulo que a região varia com o semieixo positivo de x , no caso, de π / 4 a π / 2 .

Entendeu essa parte? 😎

Passo 3

Montando nossa integral em coordenadas polares sem esquecer do jacobiano r , vamos obter

∬ D f x , y d x d y → ∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 r c o s θ · r d r d θ

∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 r 2 c o s θ d r d θ

Integrando com relação a r , temos

∫ r 2 cos ⁡ θ d r = r 3 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites de integração de r

∫ 0 2 r 2 c o s θ d r = 2 3 3 cos ⁡ θ - 0 3 3 cos ⁡ θ

∫ 0 2 r 2 c o s θ d r = 8 3 cos ⁡ θ

Integrando o resultado em função de θ

∫ 8 3 cos ⁡ θ d θ = 8 3 s e n θ

Aplicando os limites de integração de θ

∫ π 4 π 2 8 3 cos ⁡ θ d θ = 8 3 s e n π 2 - 8 3 s e n π 4

∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 r 2 c o s θ d r d θ = 8 3 - 8 3 2 2 = 8 3 - 4 2 3

∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 r 2 c o s θ d r d θ = 8 - 4 2 3

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 r 2 c o s θ d r d θ = 8 - 4 2 3

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