Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

03. f x , y = 3 x 2 y , D a região do primeiro quadrante definida por 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, queremos obter a integral da função f x , y = 3 x 2 y aplicada na região D , onde D é a região definida entre 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

O segredo é conseguir definir a região D como os limites de integração de f x , y

∬ D f x , y d x d y

Se conseguirmos fazer isso, a primeira integral deve ser definida entre duas funções e a última integral deve ser definida entre duas constantes.

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar esboçando a região D .

D é definida entre x = 0 e x = 1 e entre y = 0 e y = 1 , ou seja, tanto x quanto y é definido entre duas constantes, logo, D é uma região retangular dada por

Assim, podemos montar nossa integral com x e y variando entre duas constantes, no caso, 0 e 1 .

∬ D f x , y d x d y → ∫ 0 1 ∫ 0 1 3 x 2 y d x d y

Legal, né? 😊

Passo 3

Integrando com relação a x , temos

∫ 3 x 2 y d x = x 3 y

Aplicando os limites de integração de x ...

∫ 0 1 3 x 2 y d x = 1 3 y - 0 ³ y

∫ 0 1 3 x 2 y d x = y

Integrando o resultado em relação a y

∫ y d y = y 2 2

Aplicando os limites de integração de y

∫ 0 1 y d y = 1 2 2 - 0 2 2

∫ 0 1 ∫ 0 1 3 x 2 y d x d y = 1 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 3 x 2 y d x d y = 1 2

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