Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

06. f x , y = x y , D a região retangular definida pelas desigualdades 1 ≤ x ≤ 2 , - 2 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter a integral da função f x , y = x y aplicada na região D , onde D é a região retangular definida pelas desigualdades 1 ≤ x ≤ 2 e - 2 ≤ y ≤ 2 .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

O segredo é conseguir definir a região D como os limites de integração de f x , y

∬ D f x , y d x d y

Se conseguirmos fazer isso, a primeira integral deve ser definida entre duas funções e a última integral deve ser definida entre duas constantes.

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar esboçando a região D .

Como x e y variam entre duas constantes 1 ≤ x ≤ 2 e - 2 ≤ y ≤ 2 , a região D é dada por um retângulo.

Montando a integral de f x , y para as constantes que foram dadas no problema...

∬ D f x , y d x d y → ∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y d y d x

Como f x , y é uma função modular e deve ser integrada no primeiro e no quarto quadrante, temos que separar essa integral em duas, uma quando x e y forem positivos e outra quando y for negativo, ou seja

∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y d y d x = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x y d y d x + ∫ 1 2 ∫ - 2 0 - x y d y d x

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Calculando a primeira integral, temos

∫ 1 2 ∫ 0 2 x y d y d x

Primeiro integrando x y com relação a y

∫ x y d y = x y 2 2

∫ 0 2 x y d y = x 2 2 2 - x 0 2 2 = 2 x

Agora integrando o resultado com relação a x

∫ 2 x d x = x 2

∫ 1 2 2 x d x = 2 2 - 1 2 = 3

Portanto, encontramos que

∫ 1 2 ∫ 0 2 x y d y d x = 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Agora vamos calcular a integral do quarto quadrante...

∫ 1 2 ∫ - 2 0 - x y d y d x

Integrando em y

∫ - x y d y = - x y 2 2

∫ - 2 0 - x y d y = - x 0 2 2 - - x - 2 2 2 = 2 x

Integrando o resultado com relação a x

∫ 2 x d x = x 2

∫ 1 2 2 x d x = 2 2 - 1 2 = 3

Substituindo os dois resultados na integral de f x , y

∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y d y d x = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x y d y d x + ∫ 1 2 ∫ - 2 0 - x y d y d x

∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y d y d x = 3 + 3

∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y d y d x = 6

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y d y d x = 6

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