Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida

9. ∫ 0 4 ∫ 3 x 2 12 x f x , y d y d x

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos inverter os limites de integração da integral

∫ 0 4 ∫ 3 x 2 12 x f x , y d y d x

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

Na prática para passar a integral de ∫ y i y f ∫ x i x f f x , y d x d y para ∫ x i x f ∫ y i y f f x , y d y d x temos que olhar para os limites de integração de x e de y e tentar reescreve-las de modo que invertemos a função f x → f y ou f y → f x sendo os limites da última integral sempre definidos entre duas constantes.

Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Nesse caso, perceba que x varia entre duas constantes x f = 4 e x i = 0 . Já y está definida entre duas funções y f = 12 x e y i = 3 x 2 .

Esboçar as curvas no plano x y pode facilitar bastante o nosso trabalho, vamos fazer isso para ver o que encontramos

Bem mais fácil, não é?

Temos que passar a definir x entre duas funções e y entre duas constantes.

Horizontalmente a região entre as curvas é limitada entre a curva cinza y = 3 x 2 e a reta roxa y = 12 x .

Isolando x em um lado da equação, vamos obter

y = 3 x 2 → x = y 3

y = 12 x → x = y 12

Então esses serão os limites de integração de x .

Entendeu a ideia? 👀

Passo 3

Agora vamos analisar y .

Antes 3 x 2 ≤ y ≤ 12 x e x era definido entre x f = 4 e x i = 0 . Substituindo na inequação

3 x i 2 ≤ y ≤ 12 x f

3 0 2 ≤ y ��� 12 4

0 ≤ y ≤ 48

Portanto y varia entre 0 e 48 .

Condensando essas informações em uma integral, temos

∫ 0 4 ∫ 3 x 2 12 x f x , y d y d x = ∫ 0 48 ∫ y 12 y 3 f x , y d x d y

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 0 4 ∫ 3 x 2 12 x f x , y d y d x = ∫ 0 48 ∫ y 12 y 3 f x , y d x d y

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