Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 2

A integral 0 3 - x 2 x - x 2 d y d x fornece a área de uma região no plano x y . Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região.

Passo 1

Vamos dar uma olhada nessa integral. O que ela nos diz?

0 3 - x 2 x - x 2 d y d x

Primeiro, ela diz que o x está variando entre 0 e 3 , e que para cada um desses valores de x , o y varia de - x até 2 x - x 2 .

Vamos desenhar essas últimas duas funções!

Beleza, para cada x entre 0 e o 3 , vamos pegar toda a área entre a reta vermelha e a parábola azul! Então um esboço da área ficaria assim:

Beleza, fizemos a primeira parte.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora queremos saber quais são os pontos onde há intersecção das curvas. Vamos fazer isso fingindo que não temos essas imagens aí de cima, usando só álgebra.

Ok, as duas funções são:

f ( x ) = - x

g ( x ) = 2 x - x 2

Vamos igualar as duas equações para achar os valores de x em que as duas curvas se encontram!

- x = 2 x - x 2

Arrumando um pouco:

x 2 - 3 x = 0

x x - 3 = 0

E essa equação só tem duas raízes:

x = 0 e x = 3

Beleza, essas são os valores de x nos pontos em que f ( x ) e g ( x ) são iguais. Agora é só substituir esses valores em qualquer uma das duas funções:

f 0 = g 0 = - 0 = 0

f 3 = g 3 = - 3

Pronto, já temos as coordenadas dos dois pontos pontos de interseção!

P 1 : ( 0,0 )

P 2 : ( 3 , - 3 )

Passo 3

Finalmente, queremos a área da região, ou seja, queremos calcular aquela integral lá de cima!

A = 0 3 - x 2 x - x 2 d y d x

Como a gente pode resolver essa integral dupla? Começamos com a integral de dentro!

A = 0 3 - x 2 x - x 2 d y d x

A = 0 3 ( 2 x - x 2 - ( - x ) d x

A = 0 3 ( - x 2 + 3 x ) d x

E agora é só integrar em relação a x . Vamos lembrar das seguintes “fórmulas”!

- x 2 = - x 3 3 + C

3 x = 3 x 2 2 + C

E agora é só substituir os limites de integração:

A = - x 3 3 + 3 x 2 2 3 0 = - 3 3 3 + 3 3 2 = 3 3 1 2 - 1 3

A = 3 3 6 = 27 6 = 9 2

Pronto, calculamos a área!

Resposta

Há intersecção das curvas nos pontos 0,0 e ( 3 , - 3 ) . A área da região em questão é 9 / 2 .

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