∫ ∫ D e y - x d x d y , onde D é y   −   x   =   1 ;   y   −   x   =   2 ;   y   =   2 x   e   y   =   3 x .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos uma integral

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ D e y - x d x d y , onde D é y   −   x   =   1 ;   y   −   x   =   2 ;   y   =   2 x   e   y   =   3 x .

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Começando pela região.

y   −   x   =   1 ;   y   −   x   =   2 ;   y   =   2 x   e   y   =   3 x .

Para ajudar, vamos desenhar essa região.

Note que podemos separar em duas regiões. A primeira onde

0.5 ≤ x ≤ 1 e x + 1 ≤ y ≤ 3 x

e a segunda região

1 ≤ x ≤ 2 e 2 x ≤ y ≤ x + 2

Vamos montar nossa integral

V = ∫ 0.5 1 ∫ x + 1 3 x e y - x d y d x + ∫ 1 2 ∫ 2 x x + 2 e y - x d y d x

Integrando temos

= ∫ 0.5 1 ∫ x + 1 3 x e 3 x - x - e x + 1 - x d y d x + ∫ 1 2 ∫ 2 x x + 2 e x + 2 - x - e 2 x - x d y d x

= ∫ 0.5 1 e 2 x - e d x + ∫ 1 2 e 2 - e x d x

Por fim, temos:

( e 2 x / 2 - e x | x = 1 x = 0.5 ) + ( x e 2 - e x   | x = 2 x = 1 )

= e 2 / 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .