∫ ∫ D x y   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro ( 0 ,   0 )

e raio 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos uma integral

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ D x y   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro ( 0 ,   0 )

e raio 1 .

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Começando pela região. Para melhor entendermos o que está acontecendo. Bem, temos que a região é o primeiro quadrante limitado pela circunferência de centro ( 0 ,   0 ) e raio 1

então 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ ( 1 - x 2 ) 1 / 2

Vamos montar nossa integral

V = ∫ 0 1 ∫ 0 ( 1 - x 2 ) 1 / 2 x y   d y d x

resolvendo temos:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 ( 1 - x 2 ) 1 / 2 x y   d y d x = ∫ 0 1   ( 1 - x 2 ) x / 2 d x

Integrando temos:

∫ 0 1   ( 1 - x 2 ) x / 2 d x = x 2 / 4 - x 4 / 8   | x = 1 x = 0

= 1 / 4 - 1 / 8

= 1 / 8

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .