Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 2c

Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

y 2 = - x ,           x - y = 4 ,             y = - 1               e               y = 2

Passo 1

Pois bem! Em problemas como esse devemos sempre começar fazendo um esboço da região. Mas não se preocupe, pois fazer isso significa colocar no plano X Y todas as curvas dadas. Vamos começar aqui colocando as mais simples primeiro: x - y = 4 , y = - 1 e y = 2 .

A primeira, x - y = 4 , nada mais é do que uma reta, afinal de contas

  x - y = 4                     y = x - 4

Quanto a segunda, y = - 1 , e a terceira y = 2 , são duas retas também, mas são retas paralelas ao X

Bem...! Em relação à última equação y 2 = - x , estamos falando de uma parábola

x = - y 2

Mas cuidado! Pois essa parábola é uma parábola ao redor de x e não em y como estamos acostumados. Além disso, como y 2 é negativo, sua concavidade é para a esquerda:

O legal é que já dá pra ver que região (chamaremos de R ) estamos trabalhando! :D

Agora temos que descrever essa região, e vamos fazer isso descrevendo em uma região do tipo 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesse tipo de região, devemos ter que y varia em um intervalo numérico bem definido.

O que nessa região é bem easy verificar apenas observando a imagem que

- 1 y 2

Passo 3

Bem...! Quanto à variação do x dentro dessa região, ele entra na equação na curva vermelha...

e sai na reta azul

Ou seja

C u r v a   v e r m e l h a x R e t a   a z u l

- y 2 x 4 + y

Passo 4

Como você já deve saber, área de uma região R a essa altura do campeonato é:

A = R   1   d A

como a região acabamos de descrevê-la

- 1 y 2

- y 2 x 4 + y

Podemos simplesmente substituir na integral dupla (mas não se esqueça que o limite numérico sempre vem primeiro ):

- 1 2 - y 2 4 + y 1   d x d y

Bora resolver essa integral aí?

Passo 5

Primeiro calculemos a integral de dentro...

- 1 2 - y 2 4 + y 1   d x d y = - 1 2 - y 2 4 + y 1   d x d y =

- 1 2   x - y 2 4 + y d y =

Substituindo os limites de integração em x ...

- 1 2 4 + y - - y 2   d y =

- 1 2 4 + y + y 2   d y =

Calculando essa integral...

4 y + y 2 2 + y 3 3 - 1 2 =

substituindo os limites encontramos...

8 + 4 2 + 8 3 - - 4 + 1 2 - 1 3 =

12 + 3 2 + 9 3 =

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Resposta

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