Calcular a derivada da função, onde ela existir, nos seguintes casos:

  1. f x = x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 x c o s x
  2. f x =   x + x 3 + 3 x 2

Passo 1

Vamos começar derivando essa primeira expressão:

f x = x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 x c o s x

Como temos uma divisão, vamos usar a Regra do Quociente:

f x = h x g ( x ) → f ' x = h ' x ⋅ g x - h x ⋅ g ' x g 2 ( x )

Aplicando essa regra na nossa expressão:

f ' x = x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 ' ⋅ x c o s x - [ x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 ⋅ ( x c o s x ) ' ] x c o s x 2

Passo 2

Vamos derivar essas funções que são partes da nossa derivada inicial, começando por:

( x c o s x ) '

Para isso, temos que usar a Regra do Produto, pois temos uma multiplicação entre duas funções de x :

x   c o s x ' = x ' ⋅ c o s   x + x ⋅ c o s   x ' = c o s   x + x - s e n   x

Chegamos então no resultado dessa derivada:

x   c o s x ' = c o s x - x   s e n x

Agora precisamos derivar a outra parte:

x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 '

Derivando isso em partes:

x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 ' = x 4 ' + ln ⁡ 2 x - 1 ' = 4 x 3 + 1 2 x - 1 ⋅ 2 x - 1 '

Percebe que dentro do logaritmo tinha uma função de x , então tivemos que usar a Regra da Cadeia. Então a resposta fica:

x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 ' = 4 x 3 + 1 2 x - 1 ⋅ 2 = 4 x 3 + 2 2 x - 1

Passo 3

Agora vamos substituir essas derivadas na derivada principal:

f ' x = x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 ' ⋅ x c o s x - x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 ⋅ x c o s x ' x c o s x 2

f ' x = 4 x 3 + 2 2 x - 1 ⋅ x c o s x - [ x 4 + ln ⁡ 2 x - 1 ⋅ ( c o s x - x s e n x ) ] x 2 cos 2 ⁡ x

Vamos fazer essas multiplicações:

f ' x = 4 x 4 c o s x + 2 x c o s x 2 x - 1 - x 4 c o s x - ln ⁡ 2 x - 1 ⋅ c o s x + x 5 s e n x + x l n 2 x - 1 ⋅ s e n x x 2 cos 2 ⁡ x

Fazendo uma simplificação:

f ' x = 4 x 4 c o s x x 2 cos 2 ⁡ x + 2 x c o s x ( 2 x - 1 ) ( x 2 cos 2 ⁡ x ) - x 4 c o s x x 2 cos 2 ⁡ x - ln ⁡ 2 x - 1 ⋅ c o s x x 2 cos 2 ⁡ x + x 5 s e n x x 2 cos 2 ⁡ x + x l n 2 x - 1 ⋅ s e n x x 2 cos 2 ⁡ x

Encontramos:

f ' x = 4 x 2 cos ⁡ x + 2 2 x - 1 x c o s x - x 2 c o s x - ln ⁡ 2 x - 1 x 2 c o s x + x 3 s e n x cos 2 ⁡ x + l n 2 x - 1 ⋅ s e n x x cos 2 ⁡ x

Então:

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x + 2 2 x - 1 x c o s x - ln ⁡ 2 x - 1 x 2 c o s x + x 3 s e n x cos 2 ⁡ x + l n 2 x - 1 ⋅ s e n x x cos 2 ⁡ x

Terminamos a letra “a”!

Passo 4

Agora vamos derivar a letra “b”:

f x =   x + x 3 + 3 x 2

Vamos reescrever as raízes como potências:

f x =   x + x 1 / 2 3 + 3 x 2 = x + x 1 2 1 / 3 + 3 x 2

Vamos dividir essa derivada em duas partes:

f ' x = x + x 1 2 1 3 ' + 3 x 2 '

Passo 5

Vamos derivar primeiro essa parte aqui:

x + x 1 2 1 3 '

Vemos que existe uma função dentro de outra função, logo teremos que usar a Regra da Cadeia:

x + x 1 2 1 3 ' = 1 3 x + x 1 2 1 3 - 1 ⋅ x + x 1 2 '

Agora, derivando o termo da direita:

x + x 1 2 1 3 ' = 1 3 x + x 1 2 1 3 - 1 ⋅ 1 + 1 2 x 1 2 - 1 = 1 3 x + x 1 2 - 2 3 ⋅ 1 + 1 2 x - 1 2

Vamos voltar para a forma de raiz:

x + x 1 2 1 3 ' = 1 3 x + x 1 2 - 2 3 ⋅ 1 + 1 2 x - 1 2 = 1 3 ⋅ 1 x + x 2 3 ⋅ 1 + 1 2 ⋅ x

Substituindo na derivada inicial:

f ' x = x + x 1 2 1 3 ' + 3 x 2 ' = 1 3 ⋅ 1 x + x 2 3 ⋅ 1 + 1 2 ⋅ x + 3 x 2 '

Passo 6

Vamos derivar a segunda parte:

3 x 2 '

Para isso temos que lembrar a propriedade do expoente:

a b = e b   l n a

Usando no nosso caso:

3 x 2 ' = e x 2 ln ⁡ 3 '

Vamos usar a Regra da Cadeia mais uma vez:

e x 2 ln ⁡ 3 ' = e x 2 ln ⁡ 3 ⋅ x 2 ln ⁡ 3 ' = 2 x ⋅ l n 3 ⋅ e x 2 ln ⁡ 3

Voltando ao formato original:

3 x 2 ' = 2 x ⋅ l n 3 ⋅ e x 2 ln ⁡ 3 = 2 x ⋅ l n 3 ⋅ 3 x 2

Substituindo na nossa derivada inicial:

f ' x = 1 3 ⋅ 1 x + x 2 3 ⋅ 1 + 1 2 ⋅ x + 3 x 2 ' = 1 3 ⋅ 1 x + x 2 3 ⋅ 1 + 1 2 ⋅ x + 2 x ⋅ l n 3 ⋅ 3 x 2

Acabamos!

Resposta

  1. f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x + 2 2 x - 1 x c o s x - ln ⁡ 2 x - 1 x 2 c o s x + x 3 s e n x cos 2 ⁡ x + l n 2 x - 1 ⋅ s e n x x cos 2 ⁡ x

f ' x = 1 3 ⋅ 1 x + x 2 3 ⋅ 1 + 1 2 ⋅ x + 2 x ⋅ l n 3 ⋅ 3 x 2

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