3) Sejam f x = ln ⁡ ( 5 + sin ⁡ α x ) , g ( x ) e h x = f x g ( x ) funções diferenciáveis em x = 0 . Sabe-se que g 0 = 5 ln ⁡ 5 , g ' 0 = - 5 e h ' ( 0 ) = 5 ln ⁡ 5 .

O valor de 5 α é

Escolha uma:

A. 70

B. 50

C. 65

D. 55

E. 60

Passo 1

Saaalve, turma! Tudo certo com vocês? Estou feliz em resolver mais uma questão. Vamos pra cima!

Preparados para um exercício bem conceitual? O α , que queremos achar, está dentro de f ( x ) . As outras informações todas dadas são em relação a g ( x ) e temos h ' aparecendo. Esse h ' nos dá um direcional do que devemos fazer para desenvolver o exercício, vamos derivar h ( x ) .

Então, perceba que h ( x ) é um produto entre f x e g ( x ) . Portanto, para derivar, usamos a regra do produto:

h ' x = f ' x g x * f x * g ' ( x )

Passo 2

Agora, precisamos encontrar quem é f ' ( x ) . Como conhecemos f ( x ) , vamos derivar.

Como há uma função sin ⁡ ( ) dentro da função ln ⁡ ( ) , precisamos usar a regra da cadeia:

1 5 + sin ⁡ ( α x ) * d d x 5 + sin ⁡ α x

Resolveremos 5 + sin ⁡ ( α x ) . Essa derivada também deve ser resolvida com a regra da cadeia, já que temos a função α x dentro de cos ⁡ ( ) .

1 5 + sin ⁡ α x cos ⁡ α x * d d x α x  

Simplificando:

1 5 + sin ⁡ ( α x ) * α cos ⁡ ( α x )

α cos ⁡ ( α x ) 5 + sin ⁡ ( α x )

Passo 3

Agora que conhecemos todos os termos, vamos colocar em h ' ( x ) :

h ' x = α cos ⁡ ( α x ) 5 + sin ⁡ ( α x ) * 5 ln ⁡ 5 + ln ⁡ 5 + sin ⁡ α x * g ' ( x )

Como queremos h ' ( 0 ) :

h ' 0 = α cos ⁡ ( α * 0 ) 5 + sin ⁡ ( α * 0 ) * 5 ln ⁡ 5 + ln ⁡ 5 + sin ⁡ α * 0 * ( - 5 )

Resolvendo:

5 ln ⁡ 5 = α cos ⁡ ( 0 ) 5 + sin ⁡ ( 0 ) * 5 ln ⁡ 5 + ln ⁡ 5 + sin ⁡ 0 * ( - 5 )

Como cos ⁡ 0 = 1 e sin ⁡ ( 0 ) = 0 :

5 ln ⁡ 5 = α 5 * 5 ln ⁡ 5 + ln ⁡ 5 * ( - 5 )

10 ln ⁡ 5 = α ln ⁡ 5

α = 10

Prontinho, definimos α !

Passo 4

Olha a pegadinha aí! O exercício não nos pediu quanto vale α e sim quanto vale 5 α .

Portanto, 5 α = 50 .

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

B. 50

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )