Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

Calcule as derivadas das funções abaixo:

  1. f x = x cos ⁡ ( 1 x )
  2. g x = x ln ⁡ x x 2 + 1

Passo 1

  1. Para derivar essa função usaremos a regra do produto:

f ' x = x ' cos ⁡ 1 x + x cos' ⁡ 1 x

f ' x = 1 . cos ⁡ 1 x + x cos' ⁡ 1 x

Ué, mas como resolve cos' ⁡ 1 x ? Observe que a função c o s ⁡ ( x ) está composta com a função 1 x , por isso vamos ter que usar a regra da cadeia para derivar, assim:

cos' ⁡ 1 x = - sen ⁡ 1 x   . - 1 x 2 = sen ⁡ 1 x x ²

E finalmente

f ' x = 1 . cos ⁡ 1 x + x sen ⁡ 1 x x ² = cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesse caso vamos usar a regra do quociente, olha

g ' x = ( x ln ⁡ x ) ' ( x 2 + 1 ) - ( x 2 + 1 ) ' ( x ln ⁡ x ) ( x 2 + 1 ) ²

Se você der uma olhada mais cautelosa nessa expressão aí de cima vai perceber que pra derivar x ln ⁡ x precisaremos da regra do produto. Fica assim ó:

x ln ⁡ x ' = x ' . ln ⁡ x + ( ln ⁡ x ) ' .   x = ln ⁡ x + 1 x x = ln ⁡ x + 1

Portanto

g ' x = 1 + ln ⁡ x ⁡ ( x 2 + 1 ) - 2 x ² ln ⁡ x ( x 2 + 1 ) ²

Resposta

a) f ' x = cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x x

b) g ' x = 1 + ln ⁡ x ⁡ ( x 2 + 1 ) - 2 x ² ln ⁡ x ( x 2 + 1 ) ²

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