4) Sejam f x = 4 x + 60 x 2 + 7 , g ( x ) e h x = g ( f x ) 2 funções diferenciáveis definidas em R . Sabe-se que g n = n - 2 e g ' n = 4 - n para todo valor inteiro n .

O valor de h ' ( 1 ) é

Escolha uma:

A. 5 7 6 / 8

B. 5 78 / 8

C. 582 / 8

D. 5 80 / 8

E. 579 / 8

Passo 1

Faaala pessoal! Como vocês estão? Com certeza estudando muito, né? Então bora pra mais uma questão!

Preparados para um exercício bem conceitual? A primeira coisa que percebemos é que h ( x ) é bem confuso de avaliarmos, não é mesmo? Uma dica que vale muito a pena é chamar tudo o que tem dentro de h ( x ) como j ( x ) , olha só:

j x = g ( f x )

Pensando nessa substituição, nossa função original fica:

h x = j x 2

Bem mais simpático, não acha? Agora podemos encontrar a derivada h ' numa boa!

Passo 2

Derivando:

h ' x = 2 * j x * j ' ( x )

Legal! j ( x ) nós já conhecemos muito bem... Mas quem é j ' ?

É a derivada de j ( x ) , então vamos calcular!

j ' x = g ' f x * f ' ( x )

Agora que conhecemos todo mundo:

h ' x = 2 * g f x * g ' f x * f ' ( x )

Perfeito! O enunciado já nos contou quem é g ( n ) , g ' ( n ) e f ( x ) . O único termo que falta é f ' ( x ) .

Passo 3

Partiu encontrar f ' ?

Como há uma divisão dentro da função, precisamos utilizar a regra do quociente.

Chamaremos 4 x + 60 de k ( x ) e x 2 + 7 de l ( x ) , então:

f ' x = k ' x * l x - k x * l ' ( x ) l x 2

Calculando:

4 * x 2 + 7 - ( 4 x + 60 ) ( 2 x ) x 2 + 7 2

4 x 2 + 28 - ( 8 x 2 + 120 x ) x 2 + 7 2

Simplificando:

- 4 x 2 - 120 x + 28 x 2 + 7 2

( - 4 ) ( x 2 + 30 x - 7 ) x 2 + 7 2

Passo 4

Agora que conhecemos todos os termos de h ' ( x ) , vamos aplicar:

h ' x = 2 * g f x * g ' f x * ( - 4 ) ( x 2 + 30 x - 7 ) x 2 + 7 2

Como queremos calcular h ' ( 1 ) , vamos colocar x = 1 :

h ' 1 = 2 * g f 1 * g ' f 1 * ( - 4 ) ( 1 2 + 30 ( 1 ) - 7 ) ( 1 ) 2 + 7 2

Veja que não conhecemos f ( 1 ) , então bora calcular!

Passo 5

Para encontrarmos f ( 1 ) , basta inserir x = 1 em f ( x ) :

f 1 = 4 1 + 60 1 2 + 7

f 1 = 64 8 = 8

Passo 6

Agora podemos continuar o cálculo de h ' ( 1 ) :

h ' 1 = 2 * g 8 * g ' 8 * - 96 64

Veja que não conhecemos g ( 8 ) e g ' ( 8 ) . Mas calma, não precisa se preocupar! O enunciado nos ensinou como encontramos esses valores.

Para g n = n - 2 . No nosso caso:

g 8 = 8 - 2 = 6

Para g ' n = 4 - n . No nosso caso:

g ' 8 = 4 - 8 = - 4

Portanto:

h ' 1 = 2 * 6 * ( - 4 ) * - 12 8

Resolvendo:

h ' 1 = 576 8

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

A. 5 76 / 8

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )