4. Resolva as seguintes questões.

  1. Mostre que a afirmação “qualquer função possui no máximo uma assíntota horizontal” é falsa, usando a função h x = 1 + x 2 x - 4 .
  2. Dada f t = t | t | , t ∈ R , use a definição de derivada para mostrar que f ' 0 = 0 .
  3. Uma demonstração errada do item acima é a seguinte:

Seja f t = h t g t , onde h t = t e g t = | t | , pela regra do produto, f ' 0 = h 0 g ' 0 + h ' 0 g 0 e como h 0 = g 0 = 0 tem-se f ' 0 = 0 .

Encontre o erro na demonstração acima.

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos três perguntinhas para responder, onde em cada uma vamos usar um conhecimento diferente!
  2. Começando pela letra a, temos que mostrar que a nossa h ( x ) tem duas assíntotas horizontais, para confirmar que aquela afirmação entre aspas é falsa.

    Para quem não lembra, para encontrarmos assíntotas horizontais, temos que fazer o limite da nossa função tendendo a ± ∞ . Ou seja,

    lim x → + ∞ ⁡ h x

    lim x → - ∞ ⁡ h x

    Bora lá!

    Passo 2

    Começando por,

    lim x → + ∞ ⁡ h x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 x - 4 = ∞ ∞

    Repara que caímos em uma indeterminação, para sair dela, vamos colocar o nosso x em evidência

    lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 x - 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 1 x 2 + 1 x 1 - 4 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 1 1 - 4 x = 1

    Ou seja, temos uma assíntota horizontal em x = + 1

    Agora vamos fazer x → - ∞

    lim x → - ∞ ⁡ 1 + x 2 x - 4 = lim x → - ∞ ⁡ 1 + x 2 x 1 - 4 x = - 1

    Ou seja, temos outra assíntota horizontal em x = - 1 . Logo, a afirmação é falsa!

    Passo 3

  3. Para mostrar que f ' 0 = 0 , vamos ter que dividir a nossa função em duas partes, pois temos um módulo ali.
  4. Para t > 0 , temos que a nossa função será

    f t = t t = t 2

    Com isso temos que,

    f ' t = 2 t → f ' 0 = 0

    Já para t < 0 , temos que nossa função será

    f t = t - t = - t 2

    E a derivada ficará,

    f ' t = - 2 t → f ' 0 = 0

    Beleza?

    Passo 4

  5. O erro desta demonstração é que a nossa função possui uma mudança de comportamento em t = 0 . Ou seja, a função não tem derivada naqueel ponto, por isso não podemos aplicar a regra do produto.

Inclusive, pessoal, esse foi o motivo pelo qual dividimos a função em duas partes na demonstração da letra b.

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Se h 2 = 4 e h ' 2 = - 3 , encontre d d x h x x | x = 2
Se f x = e x g x , onde g 0 = 2 e g ' 0 = 5 , encontre f ' 0 .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções. y = x g ( x ) y = x g x y = g x x
62. a) Se F x = f x g x , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' . b) Encontre fórmulas análogas para F ' ' ' e F 4 .c) Conjecture uma fórmula pa
Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )