Nos exercícios 27 . a 29 . verifique a igualdade.

27 .   d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) = x 2 a r c s e n ( x )

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nós temos que verificar a igualdade

d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) = x 2 a r c s e n ( x )

Bem, não tem muito segredo! Vamos usar derivadas conhecidas e a regra do produto para expandir o lado esquerdo e ver se a igualdade se mantém! A regra do produto é tal que

d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = d d x [ f ( x ) ] g ( x ) + f ( x ) d d x [ g ( x ) ]

Vamos tentar aplicar isso para resolver o nosso problema! Bora lá!

Passo 2

Primeiro podemos usar a linearidade do operador derivada para escrever que

d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) = 1 3 d d x [ x 3 a r c s e n ( x ) ] + 1 9 d d x [ ( x 2 + 2 ) 1 - x 2 ]

Temos duas derivadas que podem ser resolvidas pela regra do produto, primeiro identificando que f ( x ) = x 3 e g ( x ) = a r c s e n ( x ) , podemos escrever que

d d x [ x 3 a r c s e n ( x ) ] = d d x [ x 3 ] a r c s e n ( x ) + x 3 d d x [ a r c s e n ( x ) ]

aqui, podemos usar a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

com n = 3 e a derivada conhecida

d d x [ a r c s e n ( x ) ] = 1 1 - x 2

obtemos então que

d d x [ x 3 a r c s e n ( x ) ] = 3   x 2   a r c s e n ( x ) + x 3 1 - x 2

Vamos resolver a outra derivada agora!

Passo 3

Podemos agora identificar que f ( x ) = x 2 + 2 e g ( x ) = 1 - x 2 = ( 1 - x 2 ) 1 / 2 , podemos escrever a regra do produto como

d d x [ ( x 2 + 2 ) ( 1 - x 2 ) 1 / 2 ] = d d x [ x 2 + 2 ] ( 1 - x 2 ) 1 / 2 + ( x 2 + 2 ) d d x [ ( 1 - x 2 ) 1 / 2 ]

podemos usar a linearidade da derivada, a regra do tombo que apresentei antes para n = 2 e lembrar que a derivada de constante é igual a zero, para escrever que

d d x [ x 2 + 2 ] = d d x [ x 2 ] + d d x [ 2 ] = 2 x

Agora, para a outra derivada devemos reconhecer que uma função composta da forma g ( x ) = h ( i ( x ) ) , deve ser resolvida pela regra da cadeia

d d x [ h ( i ( x ) ) ] = d h ( i ) d i d i ( x ) d x

como temos que h ( i ) = i 1 / 2 e que i ( x ) = 1 - x 2 , podemos usar a regra do tombo para escrever que

d d i [ i 1 / 2 ] = 1 2 i - 1 / 2

e, analogamente ao que fizemos antes, temos que

d d x [ i ( x ) ] = d d x [ 1 - x 2 ] = - 2 x

Juntando os dois resultados, temos que

d d x [ ( 1 - x 2 ) 1 / 2 ] = - x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2

Portanto a nossa segunda derivada é

d d x [ ( x 2 + 2 ) ( 1 - x 2 ) 1 / 2 ] = 2 x ( 1 - x 2 ) 1 / 2 - x ( 1 - x 2 ) - 1 / 2 ( x 2 + 2 )

Vamos juntar os nossos resultados agora!

Passo 4

Usando os resultados dos passos anteriores

d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) = 1 3 [ 3   x 2   a r c s e n ( x ) + x 3 1 - x 2 ] + 1 9 [ 2 x ( 1 - x 2 ) 1 / 2 - x 1 - x 2 ( x 2 + 2 ) ]

Juntando alguns termos em comum que podem ser identificados expandindo os produtos, temos que

d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) =   x 2   a r c s e n ( x ) + 2 9 x 3 1 - x 2 - 2 9 x 1 - x 2 + 1 9 [ 2 x ( 1 - x 2 ) 1 / 2 ]

Agora, se evidenciarmos a 2 9 1 1 - x 2 em todos os termos, obtemos que

d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) =   x 2   a r c s e n ( x ) + 2 9 1 1 - x 2 [ x 3 - x + x 1 - x 2 1 - x 2 ]

ou simplesmente

d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) =   x 2   a r c s e n ( x ) + 2 9 1 1 - x 2 [ x 3 - x + x ( 1 - x 2 ) ]

note que no colchetes todos os termos cancelam, portanto, mostramos que

d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) =   x 2   a r c s e n ( x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x ( x 3 3 a r c s e n ( x ) + x 2 + 2 9 1 - x 2 ) =   x 2   a r c s e n ( x )

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