Calcule a derivada das seguintes funções:

  1. f x = x sen ⁡ x x + e x
  2. g x = tg ⁡ ln ⁡ x - x

Passo 1

Vamos calcular a derivada da seguinte função:

f x = x sen ⁡ x x + e x

Percebam que temos uma função quociente, que pode ser escrita por:

f x = x sen ⁡ x x + e x = p ( x ) q ( x )

Onde p x é a função que descreve o numerador e q x a que descreve o denominador. Se utilizarmos a regra do quociente da derivação, teremos a seguinte relação:

f ' x = p ' x ⋅ q x - p x ⋅ q ' x q x 2

Se substituirmos todas as funções originais nas suas posições, teremos:

f ' x = p ' x ⋅ x + e x - x sen ⁡ x ⋅ q ' x x + e x 2

Agora, temos só que descrever a derivada p ' x e q ' x .

Passo 2

Vamos agora derivar o numerador e o denominador da função f x para substituirmos na relação do Passo 1. Começando pelo denominador, temos:

x + e x ' = 1 + e x

Agora, já para o numerador, temos o produto de x com sen ⁡ x . Então, temos que aplicar a regra do produto. Portanto,

x sen ⁡ x ' = x ' ⋅ sen ⁡ x + x ⋅ sen ⁡ x '

x sen ⁡ x ' = 1 ⋅ sen ⁡ x + x ⋅ cos ⁡ x

Portanto, substituindo na relação do Passo 1, temos:

f ' x = 1 ⋅ sen ⁡ x + x ⋅ cos ⁡ x ⋅ x + e x - x sen ⁡ x ⋅ 1 + e x x + e x 2

E assim terminamos a nossa derivada!

Resposta

f ' x = 1 ⋅ sen ⁡ x + x ⋅ cos ⁡ x ⋅ x + e x - x sen ⁡ x ⋅ 1 + e x x + e x 2

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