Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Passo 1

A função f x = ln ⁡ x + 1 x - 1 não tem a mínima semelhança com a soma da série geométrica, não é? Não mesmo, mas veja o seguinte. Vamos derivar f ( x ) .

f ' x = 1 1 + x + 1 1 - x = 2 1 - x 2

Essa função derivada se parece muito com 1 / ( 1 - x ) , não é? E nós sabemos que:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Vamos então usar essa informação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escrever a função derivada como uma série geométrica, temos:

f ' x = 2 1 1 - x 2

Como a razão é ( x 2 ) , temos:

f ' x = 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n     x < 1

Certo?

Passo 3

Mas o que queremos é a representação de f ( x ) , não de sua derivada. Repare só, integrando ambos os lados da igualdade acima, temos:

∫ f ' x   d x = 2 ∫ ∑ n = 0 ∞ x 2 n   d x

f x = ∑ n = 0 ∞ ∫ x 2 n   d x

Assim, resolvendo essa integral, encontramos uma representação em série para f ( x ) . É como se estivéssemos integrando cada termo do somatório que representa f ' ( x ) . Veja:

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 4

Agora bora achar o raio de convergência. Pra isso, fazemos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

E checamos o resultado. Bora lá, seja a n = x 2 n + 1 2 n + 1 , temos:

lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 1 + 1 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 3 2 n + 3 ∙ 2 n + 1 x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 3 x 2 n + 1 ∙ 2 n + 1 2 n + 3

= lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 3 x 2 n + 1 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3 → L H → lim n → ∞ ⁡ x 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 2 = x 2

Pra série convergir, pelo teste da razão, devemos ter:

x 2 < 1

- 1 < x < 1

O raio de convergência será então R = 1

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

R = 1

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