Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Passo 1

Vamos começar!!! Essa vai ser simples, já vimos antes a série de Taylor ao redor de

a = 0   para e x

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Agora vamos apenas substituir x   p o r - t 2

e - t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - t 2 ) n n !  

e - t 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n n !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para resolver

f x = ∫ 0 x e - t 2 d t

Precisamos integrar a série que encontramos

f x = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n n ! d t  

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) n ! 0 x

Aplicando os limites de integração

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) n !

Passo 3

Agora vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência. Lembra dele? Temos que aplicar o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 n = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema:

c n = - 1 n 2 n + 1 n !

c n + 1 = - 1 n + 1 2 n + 3 ( n + 1 ) !

Então, temos o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 n + 3 ( n + 1 ) ! 2 n + 1 n ! - 1 n =

= lim k → ∞ ⁡ ( - 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) = 0 = L

Como R = 1 / L , temos:

R = ∞

Resposta

R = ∞

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