Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2017.1, Questão 1

  1. Ache a expansão em série de potências de f x = x e x em torno de x 0 = 0 (série de Maclaurin)
  2. Derive a série de Maclaurin da função f x = x e x e use-a para provar que:

n = 0 n + 1 n ! = 2 e

Passo 1

Letra a) Caraca! essa função aqui se parece muuuuito com uma função que a gente já conhece bem a expansão dela em séries de potência, a própria e x !:)

e x = n = 0 x n n !

Pow, a única coisa que a gente tem que fazer aqui é multiplicar por x essa série aí. Vem comigo então !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a função f x = x e x , substituindo...

f x = x n = 0 x n n !

Esse x que tá fora da expressão, a gente vai passar pra dentr

f x = n = 0 x x n n !

Por propriedade de potência, x x n vira

f x = n = 0 x n + 1 n !

Prontinho!

Passo 3

Letra b) Cara, aqui não tem segredo, basta derivar essa série e ser feliz!

Ué! Mas derivar série, como faz isso?

Pow! Uma série é uma soma, e como se deriva uma soma? Derivando todos os termos, certo?

Então aqui basta a gente derivar esse termo de dentro aí com relação a variável x (sempre) dentro do próprio somatório, assim oh

f ' x = n = 0 x n + 1 n ! '                         C o m o   a   d e r i v a d a   d a   s o m a   é   i g u a l   a

  a   s o m a   d a s   d e r i v a d a s , e n t ã o                                                     f ' x = n = 0 x n + 1 n ! '

pegou a ideia?

Derivando então esse termo aí em relação a x normalmente...

f ' x = n = 0 x n + 1 n ! '    

f ' x = n = 0 n + 1 x n + 1 - 1 n !    

f ' x = n = 0 n + 1 x n n !

Passo 4

Beleza, agora vamos olhar para o outro lado da história!

A gente sabe também que a f x = x e x pelo enunciado, então

f ' x = x e x '

Aplicando a regra do produto...

f ' x = e x + x e x      

f ' x = x + 1 e x

Passo 5

Agora igualando essas duas derivadas dos dois passos acima, ou seja

f ' x = x + 1 e x = n = 0 n + 1 x n n !

Cara, agora o bizu supremo aqui é verificar o que você quer provar. Pelo enunciado queremos provar isso daqui

n = 0 n + 1 n ! = 2 e

Repare que se a gente substituir 1 então na derivada...

f ' 1 = 1 + 1 e x = n = 0 n + 1 1 n n !    

A gente conclui que sim, essa série vale 2 e

f ' 1 = 2 e x = n = 0 n + 1 n !

Resposta

Letra a)

f x = n = 0 x n + 1 n !

Letra b)

f ' x = x + 1 e x = n = 0 n + 1 x n n !                                   f ' 1 = 2 e x = n = 0 n + 1 n !

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