(Capítulo 11.10 – Exercício 2) O gráfico de f é mostrado.

(a) Explique por que a série

1,6 - 0,8 x - 1 + 0,4 x - 1 2 - 0,1 x - 1 3 + …

não é a série de Taylor de f centrada em 1 .

(b) Explique por que a série

2,8 + 0,5 x - 2 + 1,5 x - 2 2 - 0,1 x - 2 3 + …

não é a série de Taylor de f centrada em 2 .

Passo 1

Falaaa galera, vamos falar sobre série de Taylor

Nessa questão, temos o gráfico de uma função f , dado assim:

E aí queremos analisar esse gráfico com foco na série de Taylor

Só relembrando aqui, a série de Taylor é escrita assim:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Onde f n a é a enésima derivada no ponto a , e o ponto a é o ponto central da nossa série

Ou seja, isso vai gerar uma soma do tipo:

f 0 a + f 1 a . ( x - a ) + f 2 a 2 ! x - a 2 + f 3 a 3 ! x - a 2 + …

Agora vamos lá analisar o nosso problema

Passo 2

a) Aqui vamos explicar porque 1,6 - 0,8 x - 1 + 0,4 x - 1 2 - 0,1 x - 1 3 + …

Não pode ser a série de Taylor da função f centrada em a = 1

No ponto x = 1 podemos observar no gráfico que a função f ( x ) está crescente, portanto sua primeira derivada deve ser positiva

Porém, na Série de Taylor, o coeficiente que acompanha uma potência de ( x - 1 ) , carrega o sinal da enésima derivada, já que no formato de Taylor o fatorial é sempre positivo, certo?

Ou seja: é a derivada quem decide o sinal do termo ( x - a )

Se olharmos para a série que foi dada, no segundo termo - 0,8 ( x - 1 ) , temos um termo negativo, o que implica na primeira derivada negativa, o que não condiz com a função do gráfico, fechou?

Passo 3

(b) Agora vamos analisar a série

2,8 + 0,5 x - 2 + 1,5 x - 2 2 - 0,1 x - 2 3 + …

A primeira derivada aqui está com sinal positivo, pois o primeiro termo é

+ 0,5 x - 2

Show! Isso condiz com a função estar crescente em x = 1 , não temos o mesmo problema da letra A

Porém, o 2° termo é

+ 1,5 x - 2 2

, em que temos um sinal positivo

Uma 2ª derivada positiva representa uma concavidade para cima, certo?

Mas no gráfico podemos observar que temos uma concavidade para baixo em x = 1

Logo, a série não condiz com a função do gráfico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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