Considere a função

f x = x - s e n x x 3 ,   s e   x = 0 1 6 ,                                 s e   x ≠ 0

  1. Encontre a série de MacLaurin de f

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você a resolver! O problema nos deu uma função f ( x ) :

f x = x - s e n x x 3 ,   s e   x = 0 1 6 ,                                 s e   x ≠ 0

E pediu para expressar essa função em série de Maclaurin dessa função

Série de potências é uma série (a representação é uma expressão de termo geral a n dentro de um somatório Σ – em função de um inteiro positivo n ) que envolve potências de x !

Em outras palavras: é um polinômio escrito de forma condensada em um somatório

∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + …

Esse polinômio tem infinitos termos! Uma parte muito importante são os coeficientes! Quando a série de potências representa uma função f ( x ) , os coeficientes são os ‘pesos’ de cada termo com potência de x . Podemos representar qualquer função cabeluda por série de potências de x !

E é isso que essa questão pede! Embora essa função pareça simpática, integrar e/ou calcular seu valor pode ser um desafio! E é essa uma das facilidades da representação em séries: poder integrar, derivar, calcular o valor em um ponto de forma muito mais simples =)

Mas o que queremos aqui é apenas a representação! E para algumas funções-chave nós já conhecemos sua representação em série de potência, e a exponencial é uma delas!

A ideia aqui é a seguinte: a partir da série de potências do seno, ir, aos poucos, construindo a função f ( x ) em séries de potência.

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?

Passo 2

A função que queremos representar em séries é:

f x = x 2 e 2 x

Podemos começar simplificando um pouco essa função: passar aquele denominador para cima, assim teremos uma função em termos de uma exponencial (lembra que sabemos a série da função exponencial)

f x = x 2 e - 2 x

Tudo bem até aqui?

A série de Maclaurin do seno s e n ( x ) é:

s e n   ( x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Mas temos um - 1 multiplicando nosso seno, então a série que representa - s e n ( x ) é

- s e n ( x ) = ( - 1 ) ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Agora o próximo passo é ir aos poucos construindo a função!

Notem que a série começa em n = 0 e o primeiro termo dela é - x !

Passo 3

Para dar seguimento à construção, vamos somar + x ao nosso somatório, assim vamos ter a representação em série de x - s e n ( x ) , e somando com aquele - x a série vai começar em n = 1 :

x - s e n x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Beleza?

Então vamos multiplicar a série que achamos por x - 3 (que é o equivalente a dividir por x 3 ):

x - s e n x x 3 = x - 3 ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Como temos outra potência de x dentro do somatório, podemos juntar os dois, passando x - 3 para dentro da soma:

x - s e n x x 3 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 - 3 ( 2 n + 1 ) !

E está aí nossa série de Maclaurin!

x - s e n x x 3 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 ( 2 n + 1 ) !

Então é isso! Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 ( 2 n + 1 ) !

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