Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Considere a função f , definida pela série de potências

f x = ∑ m = 1 ∞ 2 m x - 1 m + 1 m m 2 + 1

b) Calcule o valor de f 10 1 (derivada de ordem 10 da função f em x = 1 )

Passo 1

b)

Para descobrirmos essa derivada, vamos igualar os termos dessa série de potência com a série de Taylor.

A primeira coisa que temos que ficar ligados, é que temos x - 1 nessa série de potência.

Beleza, isso vai nos dizer que o polinômio de Taylor vai ser em torno de 1 , show?

A série de Taylor da função f x , em torno de x = 1 , vai ser

f x = ∑ m = 0 + ∞ f m ( 1 ) x - 1 m m !

Agora, temos que comparar essa fórmula com a fórmula que ele deu da função f x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A série de Taylor é

f x = ∑ m = 0 + ∞ f m ( 1 ) x - 1 m m !

A série de potencias que ele deu vai ser

f x = ∑ m = 1 ∞ 2 m x - 1 m + 1 m m 2 + 1

Tá, mas e agora?

A primeira coisa aqui é perceber que os m estão diferentes. Como vemos isso?

Na série de Taylor, temos x - 1 m , enquanto na série de potências que ele deu temos x - 1 m + 1 .

Para arrumar isso, vamos mudar o m + 1 da série de potências, fazendo

m + 1 = u

Assim, vamos ter

m = u - 1

Substituindo isso na série de potências do enunciado

f x = ∑ u = 2 ∞ 2 u - 1 x - 1 u u - 1 u - 1 2 + 1

Para descobrir onde a série começa, temos que substituir o valor inicial de m , na relação de m com u

m = 1 → u = 1 + 1 = 2

Então nossa série vai começar mesmo no u = 2

Passo 3

Olhando como ficaram as duas vamos ter

f x = ∑ m = 0 + ∞ f m ( 1 ) x - 1 m m !

E

f x = ∑ u = 2 ∞ 2 u - 1 x - 1 u u - 1 u - 1 2 + 1

Agora, vamos comparar as séries. Primeiro, vamos abrir aquela série de m , assim:

f x = f 0 ( 1 ) x - 1 0 0 ! + f 1 ( 1 ) x - 1 1 1 ! + ∑ m = 2 + ∞ f m ( 1 ) x - 1 m m !

Tirei os dois primeiros termos para termos uma série começando em 2 .

Aquilo que está fora do somatório vai ser necessariamente 0 .

f 0 ( 1 ) x - 1 0 0 ! = 0 → f 1 = 0

f 1 1 x - 1 1 1 ! = 0 → f ' 1 = 0

Passo 4

Agora vamos para a comparação, vamos comparar o termo geral das duas séries:

f m 1 x - 1 m m ! = 2 u - 1 x - 1 u u - 1 u - 1 2 + 1

Repara que aqui, vamos precisar ter a parte com x - 1 dos dois lados iguais. Assim:

m = u

E vamos ter

f m 1 x - 1 m m ! = 2 m - 1 x - 1 m m - 1 m - 1 2 + 1

Tirando aquele x - 1 m

f m 1 m ! = 2 m - 1 m - 1 m - 1 2 + 1

Lembrando, que isso é só para m ≥ 2 , isso porque a série começa no m = 2

Passo 5

Pronto, basta agora escolher um m para termos a derivada m da função

Ele quer m = 10 , vamos ter

f 10 1 10 ! = 2 10 - 1 10 - 1 10 - 1 2 + 1

f 10 1 10 ! = 2 9 9 9 2 + 1

f 10 1 = 2 9 10 ! 9 82

Resposta

f 10 1 = 2 9 10 ! 9 82

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas