Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Considere a função f x = tg ⁡ x .

  1. Determine o polinômio de T a y l o r de 3 º grau centrado em x 0 = 0 de f ( x ) .

Passo 1

Item a) A única coisa que a gente tem que fazer aqui é aplicar a fórmula, se lembra dela?

O a no caso é 0 , e queremos até o terceiro grau, logo teremos

P 3 x = f 0 + x   f ' x + x 2 f ' ' 0 2 + x 3 f ' ' ' 0 6

Vamos encontrar essas derivadas aí?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A função que vamos derivar é essa

f x = tg ⁡ x

Calculando a primeira derivada

f ´ x = sec 2 ⁡ x

Agora a segunda lembrando de aplicar a regra da cadeia

f ' ' x = 2 sec ⁡ x   . sec ⁡ x tg ⁡ x                     ⇒               f ' ' x = 2 sec 2 ⁡ x tg ⁡ x  

Por fim, a terceira derivada aplicando a regra da cadeia e a regra do produto

f ' ' ' x = 2 2 sec ⁡ x   . sec ⁡ x tan ⁡ x tan ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x

f ' ' ' x = 4 sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x

Lembrando que tg ⁡ 0 = 0 e sec 2 ⁡ 0 = 1 cos 2 ⁡ 0 = 1 , podemos substituir o ponto 0 nessas derivadas e obteremos

f 0 = tg ⁡ 0 = 0

f ' 0 = sec 2 ⁡ 0 = 1

f ' ' 0 = 2 sec 2 ⁡ 0   . tan ⁡ 0 = 0

f ' ' ' 0 = 4 sec 2 ⁡ 0 tan 2 ⁡ 0 + 2 sec 2 ⁡ 0 sec 2 ⁡ 0 = 0 + 2 = 2

Jogando agora esse resultado no polinômio, vamos obter

P 3 x = f 0 + x   f ' x + x 2 f ' ' 0 2 + x 3 f ' ' ' 0 6

P 3 x = x + x 3 2 6

P 3 x = x + x 3 3

Resposta

Item a)

P 3 x = x + x 3 3

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