Definimos as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico por:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2 e cos h ⁡ x = e x + e - x 2

Calcule suas séries de Taylor em torno de 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular as séries de Taylor em torno de zero do seno e cosseno hiperbólicos.

Para isso, a questão nos dá as seguintes informações:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

E

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Para podermos resolver, temos que ter em mente que:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Dessa forma, devemos substituir esse dado em cada uma das funções hiperbólicas e fazer algumas manipulações algébricas para chegarmos no resultado final!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, fazendo a substituição primeiramente na função sinh ⁡ x , temos:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2 ∴

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! - ∑ n = 0 ∞ - x n n ! 2 ∴

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! - ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n ! 2 ∴

Colocando o termo x n n ! em evidência e tirando o 1 2 para fora do somatório (porque é uma constante), temos:

sinh ⁡ x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ ( 1 - - 1 n ) n ! x n ∴

Note que se n for um número par, então estaremos somando zeros.

Dessa forma, para simplificar isso, temos que n = 2 n + 1 de tal forma que o somatório fica:

sinh ⁡ x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 ! x 2 n + 1 ∴

Colocando a constante para fora, podemos encontrar a série de Taylor da função sinh ⁡ ( x ) em torno de zero:

sinh ⁡ x = 2 2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1 ∴

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 3

De forma análoga, para o cosh ⁡ ( x ) , temos:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2 ∴

cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ ( - x ) n n ! 2 ∴

cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x ) n n ! 2 ∴

Colocando o termo x n n ! em evidência e tirando o 1 2 para fora do somatório (porque é uma constante), temos:

cos h ⁡ x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ ( 1 + - 1 n ) n ! x n ∴

Note que se n for um número ímpar, então estaremos somando zeros.

Dessa forma, para simplificar isso, temos que n = 2 n de tal forma que o somatório fica:

cos h ⁡ x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 2 2 n ! x 2 n ∴

Colocando a constante para fora, podemos encontrar a série de Taylor da função sinh ⁡ ( x ) em torno de zero:

cos h ⁡ x = 2 2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 n ! x 2 n ∴

cos h ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n !

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 !

cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n !

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