Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Integração e Derivação termo a termo e Séries de Taylor

Determine a expansão em série de potências da função f x = ln ⁡ x - 1 em torno de x 0 = 3 .

Qual o raio de convergência? Calcule f 457 3 .

Passo 1

Vamos pensar um pouco nesse logaritmo como uma função que é mais fácil de achar a expansão dela em série de potências, a gente sabe a integral que da um logaritmo:

∫ 1 x - 1 d x

Se a gente botar os limites que encontrem a nossa função, tá tudo certo, então olha ae:

ln ⁡ x - 1 = f x

E

f ' x = 1 x - 1

Assim vamos ter

ln ⁡ x - 1 = ∫ 1 x - 1 d x + C

Nós fizemos isso porque podemos comparar aquele termo ali dentro com a série geométrica que conhecemos.

A série geométrica é:

∑ n = 0 ∞ a n = 1 1 - a

Comparando essas paradas achamos a e a série e isso é tranquilo de integrar.

Mas aqui temos um problema, ele quer a série centrada em x 0 = 3 . Quando fazemos essa comparação não estamos garantindo isso, para sabermos se estamos garantindo deveríamos ter

a = x - 3 n

Assim nossa série seria

∑ n = 0 ∞ x - 3 n = 1 1 - x - 3

Então precisamos reescrever aquele cara dentro da integral fazendo aparecer t - 3 , pra podermos substituir na série geometria.

Então vamos manipular 1 x - 1 pra ficar igual a 1 1 - a .

1 x - 1 = 1 x - 3 + 2

Coloquei aquele + 2 para que o resultado dê - 1

Beleza, vamos dar uma arrumada, isso porque queremos alguma coisa mais 1 no denominador. Para isso vamos colocar 2 em evidência em baixo

1 x - 3 + 2 = 1 2 x - 3 2 + 1 = 1 / 2 x - 3 2 + 1

Beleza, temos a parada centrada como queríamos.

ln ⁡ ( x - 1 ) = ∫ 1 x - 1 d x + C = ∫ 1 / 2 x - 3 2 + 1 d x + C = 1 2 ∫ 1 x - 3 2 + 1 d x + C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos achar a série geométrica do cara dentro da integral, para isso temos que compara

1 1 - a = 1 x - 3 2 + 1

Vamos ter

a = - t - 3 2

E a nossa série geométrica vai ser

1 1 - - x - 3 2 = ∑ n = 0 ∞ - x - 3 2 n

Agora podemos voltar para a integral, mas antes mas repara que isso vai convergir se

- x - 3 2 < 1

x - 3 < 2

Assim o raio de convergência dessa série geométrica vai ser

R = 2

Passo 3

ln ⁡ ( x - 1 ) = 1 2 ∫ ∑ n = 0 ∞ - x - 3 2 n d t + C = 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ∫ x - 3 n d x + C

Integrando vamos ter

ln ⁡ ( x - 1 ) = 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x - 3 n + 1 n + 1   + C

Falta achamos aquele C , ele vai ser visto quando x = 3 , isso porque é nesse ponto que estamos centrando nossa série

ln ⁡ 3 - 1 = ln ⁡ 2 = 0 + C

Então

C = ln ⁡ 2

E vamos ter

ln ⁡ x - 1 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x - 3 n + 1 n + 1   + ln ⁡ 2

ln ⁡ ( x - 1 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 n + 1 x - 3 n + 1   + ln ⁡ 2

Com

x - 3 < 2

Passo 4

Ele quer a derivada muito gigante daquela parada. Fazer na mão não vai ser nada muito legal né?

Lembra que vimos na teoria que se uma função é aproximada por uma série de potência, essa série PRECISA ser a série de Taylor?

Então temos duas formas de aproximar a função f x , uma usando a série geométrica, e outra escrevendo pela série de Taylor.

Isso ainda não quer dizer absolutamente nada né? Mas olha a malandragem, temos dois “polinômios” infinitos certo? Podemos comparar seus coeficientes.

Lembra como é o coeficiente geral da série de Taylor?

a k = f k 3 x - 3 k k !

Coloquei 3 porque já temos a série centrada no 3 .

Sacou a parada? Tranquilo se não percebeu, mas comparando cada termo da série de Taylor com os termos da série geométrica achamos várias derivadas, isso porque os termos da série geométrica para a função que fizemos antes vai ser

a n = - 1 n 2 n + 1 n + 1

Comparando os dois caras vamos conseguir achar a derivada que ele pede.

Passo 5

Repara que pela série que achamos ela está com x - 3 n + 1 , ou seja, o termo da série de Taylor que temos que pegar é

a n + 1 = f n + 1 3 x - 3 n + 1 n + 1 !

Assim vamos ter

- 1 n 2 n + 1 n + 1 = f n + 1 3 n + 1 !

f n + 1 3 = - 1 n n ! 2 n + 1

Como ele pediu a derivada em 457 devemos ter n = 456

Então

f 457 3 = - 1 456 456 ! 2 457

f 457 3 = 456 ! 2 457

Resposta

ln ⁡ ( x - 1 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 n + 1 x - 3 n + 1   + ln ⁡ 2

Com

x - 3 < 2

E

f 457 3 = 456 ! 2 457

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