Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n ( x ) ⟶ 0 ]. Também encontre o raio de convergência associado.

17.  f ( x ) = e 2 x , a = 3

Passo 1

A série de Taylor de uma função f ( x ) centrada no valor a é dada pela fórmula:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞   f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n

Onde f ( n ) ( a ) é a n -ésima derivada de f ( x ) avaliada em x = a .Vamos aplicar essa fórmula à função f ( x ) = e 2 x centrada em a = 3 . Primeiro, vamos calcular as derivadas de f ( x ) :

f ( x ) = e 2 x

Passo 2

Primeira derivada:

f ' ( x ) = 2 e 2 x

Segunda derivada:

f ' ' ( x ) = 4 e 2 x

Terceira derivada:

f ' ' ' ( x ) = 8 e 2 x

A n -ésima derivada de f ( x ) é f ( n ) ( x ) = 2 n e 2 x .

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas em  x = a = 3  :

f ( 3 ) = e 6

f ' ( 3 ) = 2 e 6

f ' ' ( 3 ) = 4 e 6

f ' ' ' ( 3 ) = 8 e 6

f ( n ) ( 3 ) = 2 n e 6  para  n ≥ 4

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, obtemos:

f ( x ) = e 6 + 2 e 6 ( x - 3 ) + 2 2 e 6 ( x - 3 ) 2 2 ! + 2 3 e 6 ( x - 3 ) 3 3 ! + …

O raio de convergência da série de Taylor é o maior intervalo aberto centrado em a no qual a série converge. No caso da função exponencial, a série de Taylor sempre converge para todos os valores de x , então o raio de convergência é infinito. Portanto, a série de Taylor de f ( x ) = e 2 x centrada em a = 3 converge para todos os valores de x .

Resposta

Portanto, a série de Taylor de f ( x ) = e 2 x centrada em a = 3 converge para todos os valores de x .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Taylor de f centrada em 4 se f n 4 = - 1 n n ! 3 n n + 1 Qual é o raio de convergência da série de Taylor?
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 1 + x 4
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 + x
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada. f x = sen ⁡ π x