Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Questão 11: Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f x = sin 2 ⁡ x ?

  1. 2 5 6 ! x 6
  2. - 2 5 6 ! x 6
  3. 2 3 4 ! x 4
  4. - 2 3 4 ! x 4
  5. 2 4 6 ! x 6

Passo 1

Pois bem, sabemos que a série de Taylor centrada em 0 de qualquer função f x é dada pela expressão...

f x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Onde o c n é dado pela fórmula:

c n = f n 0 n !

O que a gente quer fazer, basicamente é determinar os três primeiros termos dessa série não nulos !

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Passo 2

Como na fórmula de c n , temos derivadas, esse vai ser o nosso próximo passo:

f x = sin 2 ⁡ x

Derivando tendo-se cuidado com a regra da cadeia...

f ' x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x   →

Quem é 2 sin ⁡ x cos ⁡ x ? Isso mesmo:

f ' x = sin ⁡ 2 x

Calculando-se a segunda derivada agora...

f ' ' x = 2 cos ⁡ 2 x

A terceira e as demais até a 6 ª...

f ' ' ' x = - 4 s in ⁡ 2 x

f 4 x = - 8 cos ⁡ 2 x

f 5 x = 16 sin ⁡ 2 x

f 6 x = 32 cos ⁡ 2 x

Escolhi a 6 ª , pois acredito que quando substituirmos o 0 , vamos ganhar um monte de 0 ’s, mas acho que até a sexta já é o suficiente para determinar o terceiro não nulo. Se eu estiver errado, a gente volta e deriva mais, ok?

Passo 3

Substituindo o 0 agora no lugar do x em todos esses caras ali de cima (incluindo o f x que pode ser considerado como a derivada 0 : f 0 x ):

f 0 = sin 2 ⁡ 0 = 0

f ' 0 = sin ⁡ 0 = 0

f ' ' 0 = 2 cos ⁡ 0 = 2

f ' ' ' 0 = - 4 sin ⁡ 0 = 0

f 4 0 = - 8 cos ⁡ 0 = - 8

f 5 0 = 16 sin ⁡ 0 = 0

f 6 0 = 32 cos ⁡ 0 = 32

Veja que de fato até a ordem 6 já obtivemos o terceiro elemento não nulo! Mas se tivéssemos escolhido calcular a integral somente até a ordem 3 , deveríamos voltar lá e derivar mais, pois o que queremos mesmo não é o elemento de 3 ª ordem e sim o 3 º não nulo, heim!

Logo, o terceiro não nulo tem o c n = c 6 ...

c 6 = f 6 0 6 ! =

32 6 ! =

2 5 6 !

O sexto elemento será:

f x = ∑ n = 0 ∞ c n x n   →

f 6 x = c 6 x 6 =

2 5 6 ! x 6

Resposta

Alternativa

a

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