Usando a série de Taylor, calcule

lim x → 0 ⁡ 3 x - x 3 - 3 a r c t a n ⁡ ( x ) x 5

Obs: a resposta deve ser dada na forma decimal com até três casas decimais exatas.

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

O enunciado nos pede um limite de uma equação bem chatinha hein, então um boa é testar as possibilidades! Logo de cara a gente já percebe que o x não pode simplesmente ser substituído por 0, pois o denominador zeraria, tornando o limite indeterminado!

Por esse motivo, vamos seguir a recomendação do enunciado de resolver o limite por série de Taylor, substituindo por séries de potências, que são polinômios!!

Então se conseguirmos escrever a r c t a n ⁡ ( x ) como polinômio a nossa vida seria mais fácil, né? Aqui nós demos sorte pois a série de Maclaurin é conhecida!

arctan ⁡ x = x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + 1 9 x 9 + …

Passo 2

Vamos substituir o polinômio com quatro termos e achar como podemos aproximar esta função!

3 x - x 3 - 3 a r c t a n ⁡ ( x ) x 5 = 3 x - x 3 - 3 x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 x 5

Belezaaa, podemos continuar simplificando:

- 3 5 x 5 + 3 7 x 7 x 5 = - 3 5 + 3 7 x 2

Passo 3

Substituindo no limite:

lim x → 0 ⁡ 3 x - x 3 - 3 a r c t a n ⁡ ( x ) x 5 = lim x → 0 ⁡ - 3 5 + 3 7 x 2

Agora podemos substituir x = 0 , pois não caímos em nenhuma indeterminação!

lim x → 0 ⁡ - 3 5 + 3 7 x 2 = - 3 5 + 0 7 = - 0,600

Essa questão foi dificinha, né?

Vamos chegamos ao fim, ufaaa

Resposta

- 0,6 00

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