Usando a série de Taylor, calcule

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x - l n ⁡ ( 1 - x ) x 2

Obs: a resposta deve ser dada na forma decimal com até três casas decimais exatas.

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

O enunciado nos pede um limite de uma equação bem chatinha hein, então um boa é testar as possibilidades! Logo de cara a gente já percebe que o x não pode simplesmente ser substituído por 0, pois o denominador zeraria, tornando o limite indeterminado!

Então uma boa estratégia que podemos seguir é usar a regra de L’Hospital que segue o seguinte modelo:

lim x → 0 ⁡ f x g ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' x g ' ( x )

Então podemos reescrever o limite derivando os termos:

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x - l n ⁡ ( 1 - x ) ' x 2 ' = lim x → 0 ⁡ - x 2 + x ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) 2 x

Arrumando os termos.

lim x → 0 ⁡ - x + 1 2 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )

Passo 2

Opaa, conseguimos simplificar o limite, podemos continuar substituindo x = 0 .

li m x → 0 ⁡ - 0 + 1 2 ( 0 + 1 ) ( 0 2 + 1 ) = lim x → 0 ⁡ 1   2 = 1 2

O enunciado nos pediu o resultado em forma decimal com até três casa decimais. Logo, o nosso limite equivale a:

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x - l n ⁡ ( 1 - x ) x 2 = 0 , 500

Essa questão foi dificinha, né?

Vamos chegamos ao fim, ufaaa

Resposta

0,500

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