Usando a série de Taylor, calcule

lim x → 0 ⁡ 1 + x   3 - 1 x

Sugestão: usar a fórmula binomial de Newton 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n , onde x < 1 e k é um número real.

Obs: a resposta deve ser dada na forma decimal com até três casas decimais exatas.

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

O enunciado nos pede um limite de uma equação bem chatinha hein, então um boa é testar as possibilidades! Logo de cara a gente já percebe que o x não pode simplesmente ser substituído por 0, pois o denominador zeraria, tornando o limite indeterminado!

Então uma boa estratégia que podemos seguir é usar a regra de L’Hospital que segue o seguinte modelo:

lim x → 0 ⁡ f x g ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' x g ' ( x )

Então podemos reescrever o limite derivando os termos:

lim x → 0 ⁡ 1 + x   3 - 1 ' x ' = lim x → 0 ⁡ 1 3 1 + x 1 3 - 1   1

Arrumando os termos.

lim x → 0 ⁡ 1   3 1 + x 2 3

Passo 2

Opaa, conseguimos simplificar o limite, podemos continuar substituindo x = 0 .

lim x → 0 ⁡ 1   3 1 + 0 2 3 = lim x → 0 ⁡ 1   3 1 2 3 = 1 3

O enunciado nos pediu o resultado em forma decimal com até três casa decimais. Logo, o nosso limite equivale a:

lim x → 0 ⁡ 1 + x   3 - 1 x = 0,333

Essa questão foi dificinha, né?

Vamos chegamos ao fim, ufaaa

Resposta

0,333

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