Resumão Completo

Aproximação Linear

Quando nós vimos retas tangentes, mostramos que elas são iguais à função no ponto de tangência. Para valores diferentes desse ponto a reta tangente pode se afastar bastante:

A função (em vermelho) é igual a tangente (azul) no ponto de tangência (verde) e se distância nos outros pontos.

Se nós quisermos aproximar a função f x = x em pontos perto de x = 4 , como fazemos?

A reta tangente é parecida com a função para valores próximos do ponto de tangência. Então que tal aproximar pela reta tangente? Acho uma boa!

A reta tangente tem a equação geral:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Precisamos determinar os valores de ( x 0 , f ( x 0 ) ) e f ( x 0 ) para determiná-la. Com estamos usando a reta tangente a f em x = 4 como referência, então ela passa por esse ponto, logo:

( x 0 , f ( x 0 ) )   ( 4 ,   f ( 4 ) ) ( 4,2 )

Para f ( x 0 ) , derivamos a função:

f ' x = x ' = 1 2 x f ' x o = f ' 4 = 1 2 4 = 1 4

Substituindo tudo, obtemos a reta tangente ao ponto x = 4 :

y - 2 = 1 4 ( x - 4 )

Mas para que serve essa aproximação? Eu posso achar valor de raízes perto de 4 com essa fórmula. Suponha que eu queira calcular 4,1 por exemplo.

Usando-a para aproximar o valor de x = 4.1 :

y - 2 = 1 4 4.1 - 4 y = 2.025 f 4.1 = 4.1

Se você usar sua calculadora malandra agora, você verá que 4.1 2.0248 que é muito parecido com o que a gente achou. Não chega a ser um sorvete, mas ainda é delicioso.

O que você acabou de fazer foi a aproximação linear de uma função, ou seja, toda vez que te perguntarem por aproximação linear, você já sabe que tem que aproximar algo usando reta tangente ;-).

Achando a função ou ponto...

Há vários exercícios envolvendo aproximação linear nos quais o autor omite alguma informação no enunciado para que você a deduza.

Imagine que, como no exemplo do tipo anterior, quiséssemos aproximar 4.1 .

Poderia não ser dito qual era o melhor ponto para aproximar usando a função f x = x .

Neste caso, precisaríamos identificar o ponto mais próximo ao de interesse no qual o valor de f ( x ) é conhecido, como o ponto x = 4 que ele tinha dado.

Poderia também não ser dito qual função você deveria usar para aproximar 4.1 , mas ainda sim pedir para aproximar tomando como referência x = 4 . Nesse caso, você precisa identificar qual a melhor função que, no ponto x = 4 , fica próxima de 4.1 . Você já tem spoiler dela: f x = x , pois:

f 4 = 4   q u e   e s t á   p r ó x i m o   a   4.1

Por último, poderia não ser dito nada além de:

Aproxime 4.1 por aproximação linear.

Quando isso acontece, pode ocorrer uma sensação estranha de que você voltou a ser criança e se perdeu da mãe no supermercado, mas não é bem assim. Você precisa determinar uma boa função e um bom ponto.

E como sei qual função e qual ponto são os bons? A boa função é aquela que você consegue avaliar no ponto que você escolher e, nesse ponto, tem valor próximo do valor pedido.

Nesse caso, poderíamos ter escolhido tanto f x = x e x = 4 , quanto g x = 2 x e x = 2 , pois:

g 2 = 2 2 = 4     q u e   e s t á   p r ó x i m o   a   4.1

Só não poderíamos substituir x = 4.1 na equação da reta tangente à g depois, pois:

g 4.1 = 2 4.1 = 8.2 4.1

O melhor seria x   =   2.05 , pois:

g 2.05 = 2 2.05 = 4.1

Apesar deste último caso parecer vago, ele dá também uma gama maior de possibilidade de escolha para funções e pontos de referência.

Vamos ver cada uma dessas situações agora, nos exercícios de fixação ;-)

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Encontre a aproximação linear local da função f x = 1 x em a = 4 e use-a para aproximar 1 3,9 e 1 4,1 .

Resolução

Enunciado

Considere a curva definida pela equação x 6 + y 6 + 8 x y + 6 = 0 . Calcule y ' e encontre a aproximação linear à curva no ponto 1 , - 1 .

Resolução

Enunciado

A aproximação 1 + x k 1 + k x é frequentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos.

Deduza esse resultado e use-o para fazer uma estimativa grosseira de 1,001 37

Resolução

Enunciado

A aproximação linear da função f x = tan ln x , no ponto de referência a , é:

f x x - 1

Determine o ponto de referência.

Resolução

Enunciado

Determine o valor de e 1 / 4 usando aproximação linear em uma função da sua escolha em torno do ponto a = 0 .

Com esse valor aproximado de e 1 / 4 determine o valor de e .

Resolução

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