Resumão Completo

Máximos e Mínimos

Introdução

Chegou a hora de falar de máximos e mínimos que serão fundamentais para problemas de otimização, então fique bem ligado!

Antes de tudo, o que são esses pontos? Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos. Olhando para o gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina:

Já um ponto de mínimo parece mais um buraco, daqueles que furam o pneu do carro:

Como achar pontos de máximo e mínimo

Ok, no gráfico dá para entender bonitinho, mas como calcula isso?

Eles se dão sempre onde a derivada se anula!

Pode ser que você não se lembre, mas já vimos o que são os pontos onde a derivada é zero ou não existe: são os pontos críticos. Assim, pontos de máximo ou mínimo sempre serão pontos críticos.

Teste da primeira derivada

Ok, sabemos que os pontos críticos podem ser pontos de pico, mas como ter certeza e diferenciar máximo de mínimos?

Para máximos, a derivada de valores à esquerda é positiva e de valores à direita é negativa. Para mínimos, temos o contrário. Então para determinar o que é o que, testamos os sinais entre os pontos críticos. Esse teste é chamado de teste da primeira derivada:

Exemplo, se f ' 1 = 0 , f ' 0,5 < 0 e f ' 1,5 > 0 , teremos um ponto de mínimo. Agora, se f ' 3 = 0 , f ' 2 > 0 e f ' 4 < 0 , teremos um ponto de máximo.

Cuidado ao escolher valores de referência à esquerda ou à direita de um ponto crítico. Tenha certeza que eles não passem por nenhum outro ponto crítico.

Como assim? Quando estavámos testando x = - 1 / 3 , escolhemos como valor à direita x = 0 que, partindo de x = - 1 / 3 não ultrapassa x = 1 / 3 que é outro ponto crítico. Essa é a atitude correta.

Se tivéssemos escolhido x = 1 , ou invés de x = 0 , por exemplo, teríamos ultrapassado   x = 1 / 3 , outro ponto crítico, e ficaríamos com uma informação errada a respeito do ponto crítico x = - 1 / 3 que era o que estava sendo testado.

Teste da segunda derivada

A teste que pode ser usado é o teste da segunda derivada. Nos pontos de máximo, a derivada é positiva e se torna negativa, ou seja, varia negativamente. Então, nesses pontos, a segunda derivada é negativa.

Para pontos de mínimo, temos o contrário e a segunda derivada é positiva.

A vantagem do teste da segunda derivada é que você só precisa determinar seu sinal no ponto crítico. A desvantagem é que você tem que derivar a função de novo.

Máximos e mínimos locais ou globais

A função ainda pode atingir valores menores para as fronteiras da função, como na função abaixo:

Repare que, se quiséssemos achar um ponto de máximo, derivando a função e a igualando a zero, iríamos achar os pontos c e d . Comparando-os, iríamos descobrir que o ponto d é um máximo

Porém (!), o ponto b NÃO é o ponto de máximo global e, sim, o ponto a , extremo do intervalo analisado. Por isso é importante testar f ( a ) e f ( b ) ( a   e   b extremos do intervalo) e compará-los com f do ponto crítico achado antes. O melhor, ganha!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Identifique os pontos de máximo e mínimo e de inflexão da função abaixo.

y = x 3 3 - x 2 2 - 2 x + 1 3

Resolução

Enunciado

Considere o polinômio y = A x 3 + 6 x 2 - B x , onde A e B são constantes reais. É possível determinar valores para A e B tais que o gráfico de y tem um ponto de máximo local quando x = - 1 e um ponto de inflexão quando x = 1 ?

Resolução

Enunciado

Sendo:

g x = x 8 - x ²

a ) Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente.

b ) Em seguida, identifique os valores extremos locais da função, se houve, informando onde ela os assume.

c ) Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

Resolução

Enunciado

  1. Mostre que a função

f x = ln x x

Possui um máximo absoluto em x = e

Resolução

Enunciado

Se:

k x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ,   - < x 0

a ) Identifique os valores extremos locais da função nos domínios dados e informe onde ela os assume.

b ) Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

Resolução

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Aulão de Aplicação de Derivadas

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Saia do zero para a aprovação em
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